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1 LO12 Chap 4 4. Transformations géométriques plusieurs repères : • objet, •

1 LO12 Chap 4 4. Transformations géométriques plusieurs repères : • objet, • scène, • observateur(caméra), • écran: transformations pour passer d’un repère à l’autre. description 3D pour un affichage 2D: projection de la scène sur l ’écran x z y Plan de projection Caméra (observateur de la scène) Objet projeté Point de visée xc zc yc zo yo xo 4.1 Les transformations 2D ⎩ ⎨ ⎧ + + = ′ + + = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × + = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 22 21 1 12 11 2 1 22 21 12 11 b a a b a a b b un vecteur est a a a a inversible 2 2 matrice une est : écrire s' peuvent plan le dans s ponctuelle ations transform les Toutes ) de é (transform final point le et départ de point Soient y x y y x x y x y x B A B AX X X X X Les transformations 2D Translation ⎩ ⎨ ⎧ + = ′ + = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ v v v v on translati de vecteur le est 1 0 0 1 identité matrice la est y y y x x x y x v T B A P(x,y) P’(x’,y’) v Les transformations 2D Changement d'échelle Rotation par rapport à l'origine ⎩ ⎨ ⎧ = ′ = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y y x x e e y x y x , e e nul est e 0 0 e diagonale matrice une est B E A y x ⎩ ⎨ ⎧ + = ′ − = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = α α α α α α α α α cos sin sin cos 0 0 nul est cos sin sin - cos rotation de matrice la est y x y y x x B R A x x’ y’ y P P’ α 2 LO12 Chap 4 Les transformations 2D Symétrie par rapport à un axe Application aux objets en théorie : on applique la transformation ponctuelle en chaque point de l’objet en pratique : seulement quelques points de référence ⎩ ⎨ ⎧ = ′ − = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ⎩ ⎨ ⎧ − = ′ = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = y y x x y y x x nul est 1 0 0 1 y des axe l' à rapport par symétrie matrice la est nul est 1 0 0 1 x des axe l' à rapport par symétrie matrice la est B S A B S A y x Transformations inverses Transformations inverses Transformations de coordonnées et : Symétrie : échelle d' Changement : Rotation : n Translatio 1 1 1 - 1 1 y y x x ,1/ 1/ , v - v S S S S E E R R T T y x y x = = = = = − − − − − e e e e θ θ x x’ y’ y P(x,y) (x’,y’) α x x’ y’ y P(x,y) (x’,y’) v ⎩ ⎨ ⎧ + − = ′ + = ′ ⎩ ⎨ ⎧ − = ′ − = ′ α α α α cos sin sin cos y x y y x x y y y x x x v v Composition des transformations Toute transformation peut se décomposer en composition de transformations élémentaires Comment exprimer de manière simple une transformation non élémentaire? Exemple : la rotation par rapport à un point P v v - T : P R T point le rs slation ve tran : rotation origine l' on vers translati : tion Transforma θ θ v P Coordonnées homogènes Définition on translati : symétrie échelle, rotation, : 1 1 0 1 ' ' écrire s' peut e géométriqu ation transform une et : échelle d' facteur un est sinon infini l' à e transform se point le alors 0 si es) (normalisé et alors 1 si un triplet re correspond fait on , de y) (x, point A tout homogènes dites s coordonnée les utilise on cela Pour on. translati la sauf es élémentair ations transform les s pour toute possible est C' ' matrice seule une d' forme sous r représente se peut ation transform Une 2 1 2 1 2 1 2 B A B A MX X M ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ = ⋅ = = = = = ℜ = y x y x y s h x s h s s y h x h s ,s) , h (h 3 LO12 Chap 4 Transformations en coordonnées homogènes ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 : symétrie/y 1 0 0 0 1 0 0 0 1 : symétrie/x 1 0 0 0 0 0 0 : échelle 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos : rotation 1 0 0 1 0 0 1 : n translatio y x y x e e v v θ θ θ θ On trouve une autre notation en infographie équivalence Représentation matricielle des transformations gauche. à es matriciell tions multiplica des par es représenté sont ations transform Les colonnes vecteurs des sont et . ) de é (transform final point le et départ de point le Soient AX X X X X X X = ′ ′ ′ YB Y Y Y = ′ ′ doite. à es matriciell tions multiplica des par es représenté sont ations transform Les lignes vecteurs des sont et alors et si T T T B A Y X Y X = ′ = ′ = n n 2 2 1 1 1 2 3 n 1 2 3 n 2 1 2 3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 ' ... ' ' ' ... ' ' 3) 2) ) 1 P M P P M P P M P M M M M P M M M P P M M M P P M M M P M M M ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = Composition des transformations en coordonnées homogènes Composition de transformations : produit matriciel • Transformations successives • Appliquée à n points • Composition des transformations : calcul d'une matrice Composition des transformations en coordonnées homogènes exemple Opération de prélèvement X R X T R T R T P R T P R v - v v v - ⋅ = ⋅ ⋅ = P P P ' , , , : point le on vers translati 3) : origine l' de autour de rotation 2) origine l' vers de on translati ) 1 : tion Transforma θ θ θ θ θ θ Soit un objet défini dans son propre repère. Le placer dans une image consiste à : 1) effectuer une mise à l ’échelle 2) effectuer une rotation 3) effectuer une translation 4 LO12 Chap 4 4.2 Les transformations 3D Repère direct Repère indirect lié à l’observateur Repère direct lié à l’observateur x z y x z y x z y Les transformations 3D Coordonnées cartésiennes et sphériques Angles azimuth et élévation dans certaines applications (OpenGL) Les transformations élémentaires Translations Symétries par rapport à un plan Changements d'échelle Rotations par rapport à un axe 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ez ey, ex, zt yt, xt, ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = z y x t t t e e e z y x E T ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 uploads/s3/ cours-4 1 .pdf