R´ eduction & alg` ebre bilin´ eaire Ann´ ee : 2019-2020 TD N◦4 : Formes bilin´

R´ eduction & alg` ebre bilin´ eaire Ann´ ee : 2019-2020 TD N◦4 : Formes bilin´ eaires–Formes quadratiques (corrig´ e) Exercice 1. Les applications suivantes d´ efinies de E × E vers R sont-elles bilin´ eaires ? sym´ etriques ? 1. E = R2, b(x, y) = x1x2 + y1y2. 2. E = R2, b(x, y) = x1y2 + x2y1. 3. E = R[X], b(P, Q) = P ′(1)Q(0) + P ′(0)Q(1). 4. E = C([0, 1], R), b(f, g) = R 1 0 f(t)g(1 −t)dt. Solution 1) L’application b(x, y) = x1x2 + y1y2 sur R2. Pour x = (1, 2), x′ = (1, 0), y = (1, 1) et λ = 1 on a : b(x + λx′, y) = b((2, 2), (1, 1)) = 5, et b(x, y) + λb(x′, y) = 2 + 1 + 1 = 4. Donc b(., .) n’est pas lin´ eaire ` a gauche. Par cons´ equent b(., .) n’est pas une forme bilin´ eaire. 2) L’application b(x, y) = x1y2 + x2y1 sur R2. Soient x = (x1, x2), x′ = (x′ 1, x′ 2) et y = (y1, y2) dans R2 et soit λ ∈R. On a b(x + λx′, y) = (x1 + λx′ 1)y2 + (x2 + λx′ 2)y1, = x1y2 + x2y1 + λ(x′ 1y2 + x′ 2y1), = b(x, y) + λb(x′, y), donc b est lin´ eaire ` a gauche. D’un autre cot´ e, pour tous x, y, y′ ∈R2 et tout λ ∈R, on a b(x, y + λy′) = x1(y2 + λy′ 2) + x2(y1 + λy′ 1), = x1y2 + x2y1 + λ(x1y′ 2 + x2y′ 1), = b(x, y) + λb(x, y′), et donc b est lin´ eaire ` a droite. Ainsi b est une forme bilin´ eaire sur R2. De plus, pour tous x, y ∈R2, on a b(y, x) = y1x2 + y2x1 = x1y2 + x2y1 = b(x, y), donc b est une forme bilin´ eaire sym´ etrique. 3) L’application b(P, Q) = P ′(1)Q(0) + P ′(0)Q(1) sur R[X]. Soient P1, P2 et Q dans R[X] et soit λ ∈R. On a b(P1 + λP2, Q) = (P1 + λP2)′(1)Q(0) + (P1 + λP2)′(0)Q(1), = P ′ 1(1)Q(0) + P ′ 1(0)Q(1) + λ(P ′ 2(1)Q(0) + P ′ 2(0)Q(1)), = b(P1, Q) + λb(P2, Q), 1 R´ eduction & alg` ebre bilin´ eaire Ann´ ee : 2019-2020 donc b est lin´ eaire ` a gauche. D’un autre cot´ e, pour tous P, Q1, Q2 ∈R[X] et tout λ ∈R, on a b(P, Q1 + λQ2) = P ′(1)(Q1 + λQ2)(0) + P ′(0)(Q1 + λQ2)(1), = P ′(1)Q1(0) + P ′(0)Q1(1) + λ(P ′(1)Q2(0) + P ′(0)Q2(1)), = b(P, Q1) + λb(P, Q2), donc b est lin´ eaire ` a droite. Ainsi b est une forme bilin´ eaire sur R[X]. Comme b(P, Q) ̸= b(Q, P) (par exemple P = X et Q = 1) alors b n’est pas sym´ etrique. 4) L’application b(f, g) = R 1 0 f(t)g(1−t)dt sur C([0, 1], R). Soient f1, f2 et g dans C([0, 1], R) et soit λ ∈R. On a b(f1 + λf2, g) = Z 1 0 (f1 + λf2)(t)g(1 −t)dt, = Z 1 0 (f1(t)g(1 −t) + λf2(t)g(1 −t))dt, = Z 1 0 f1(t)g(1 −t)dt + λ Z 1 0 f2(t)g(1 −t)dt, = b(f1, g) + λb(f2, g), donc b est lin´ eaire ` a gauche. De mˆ eme, on montre que b est lin´ eaire ` a droite. D’o` u b est une forme bilin´ eaire. D’autre part, pour tous f, g ∈C([0, 1], R) on a : b(g, f) = Z 1 0 g(t)f(1 −t)dt. Posons x = 1 −t, alors dx = −dt, on aura donc b(g, f) = Z 1 0 g(t)f(1 −t)dt = − Z 0 1 g(1 −x)f(x)dx = Z 1 0 f(x)g(1 −x)dx = b(f, g). Ainsi b est sym´ etrique. Exercice 2. Pour chacune des formes bilin´ eaires suivantes, calculer sa matrice M1 dans B1 et sa matrice M2 dans B2. Calculer P, la matrice de passage de B1 ` a B2, et v´ erifier que M2 = tPM1P. 1. b : R2 × R2 − →R d´ efinie par b(x, y) = x1y2 + 3y1x2, B1 = {(1, 0), (0, 1)} et B2 = {(1, 1), (1, 2)}. 2. b : R2[X] × R2[X] − →R d´ efinie par b(P, Q) = P(2)Q(1), B1 = {1, X, X2} et B2 = {(1, X −1, X2 − 3X + 2}. 3. b : R2[X] × R2[X] − →R d´ efinie par b(P, Q) = R 1 0 P(x)Q(1 −x)dx, B1 = {1, X, X2} et B2 = {(1, X −1, X2 −X}. 2 R´ eduction & alg` ebre bilin´ eaire Ann´ ee : 2019-2020 Solution 1) L’application b : R2 × R2 − →R d´ efinie par b(x, y) = x1y2 + 3y1x2, B1 = {(1, 0), (0, 1)} et B2 = {(1, 1), (1, 2)}. La matrice M1 := MatB1(b) est (M1)ij = b(ei, ej), ei, ej ∈B1 i.e. M1 = b(e1, e1) b(e1, e2) b(e2, e1) b(e2, e2)  = 0 1 3 0  La matrice M2 := MatB2(b) est (M2)ij = b(ei, ej), ei, ej ∈B2 i.e. M2 = b(e1, e1) b(e1, e2) b(e2, e1) b(e2, e2)  = 4 5 7 8  La matrice de passage P de la base canonique B1 ` a la base B2 est : P = 1 1 1 2  Puis, on v´ erifie facilement que tPM1P = M2. 2) L’application b : R2[X] × R2[X] − →R d´ efinie par b(P, Q) = P(2)Q(1), B1 = {1, X, X2} et B2 = {(1, X −1, X2 −3X + 2}. La matrice M1 := MatB1(b) est (M1)ij = b(ei, ej), ei, ej ∈B1 i.e. M1 =   b(e1, e1) b(e1, e2) b(e1, e3) b(e2, e1) b(e2, e2) b(e2, e3) b(e3, e1) b(e3, e2) b(e3, e3)  =   1 1 1 2 2 2 4 4 4   La matrice M2 := MatB2(b) est (M2)ij = b(ei, ej), ei, ej ∈B2 i.e. M2 =   b(e1, e1) b(e1, e2) b(e1, e3) b(e2, e1) b(e2, e2) b(e2, e3) b(e3, e1) b(e3, e2) b(e3, e3)  =   1 0 0 1 0 0 0 0 0   La matrice de passage P de la base canonique B1 ` a la base B2 est : P =   1 −1 2 0 1 −3 0 0 1   On calcule M1P, on trouve M1P =   1 0 0 2 0 0 4 0 0   Puis on v´ erifie que tPM1P = M2. 3) Idem pour l’application b : R2[X] × R2[X] − →R d´ efinie par b(P, Q) = R 1 0 P(x)Q(1 −x)dx. 3 R´ eduction & alg` ebre bilin´ eaire Ann´ ee : 2019-2020 Exercice 3. Pour chaque forme quadratique q sur R3, donner 1. la forme polaire φ associ´ ee ; 2. la matrice de φ dans la base canonique de R3. a) q (x) = x2 1 + 2x2 2 + 3x2 3 ; b) q (x) = 2x1x2 + 4x1x3 + 6x2x3 ; c) q (x) = x2 1 + x2 2 + x2 3 + x1x2 + x2x3 ; d) q (x) = x2 1 + x2 2 + x2 3 + 2x1x2 + 4x2x3. pour x = P3 i=1 xi, les xi sont les coordonn´ ees du vecteur x dans la base canonique de R3. Solution 1) la forme polaire φ associ´ ee ` a q. a) q (x) = x2 1+2x2 2+3x2 3. La forme polaire associ´ ee ` a la forme quadratique q est la forme bilin´ eaire sym´ etrique φ donner par la formule : φ(x, y) = 1 2(q(x + y) −q(x) −q(y)) ou φ(x, y) = 1 2(q(x + y) −q(x −y)). Cela donne φ(x, y) = 1 2(q(x + y) −q(x) −q(y)), = 1 2 (x1 + y1)2 + 2(x2 + y2)2 + 3(x3 + y3)2 −q(x) −q(y)  , = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y3. On peut obtenir la forme polaire φ directement ` a partir de la forme quadratique q : On remplace les termes aiix2 i par aiixiyi et les termes aijxixj (i < j) par aij 2 xiyj + aij 2 xjyi. b) q (x) = 2x1x2 + 4x1x3 + 6x2x3. La forme polaire associ´ ee ` a la forme quadratique q est : φ(x, y) = x1y2 + x2y1 + 2x1y3 + 2x3y1 + 3x2y3 + 3x3y2. On a q(x) = φ(x, x). c) q (x) = x2 1 + x2 2 + x2 3 + x1x2 + x2x3. La forme polaire associ´ ee ` a la forme quadratique q est : φ(x, y) = x1y1 + x2y2 + x3y3 + 1 2x1y2 + 1 2x2y1 + 1 2x2y3 + 1 2x3y2. d) q (x) = x2 1 + x2 2 + x2 3 + 2x1x2 + uploads/s3/ td4-corrige 1 .pdf

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