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ENSAM CASABLANCA Cours d’Algèbre 1 ENSAM CASABLANCA 1 ENSAM CASABLANCA Table de

ENSAM CASABLANCA Cours d’Algèbre 1 ENSAM CASABLANCA 1 ENSAM CASABLANCA Table des matières 1 Notions de logique 6 1.1 Qu’est ce que la logique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Assertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Opérations sur les assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 La démonstration en mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.1 Démonstration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.2 Démonstration par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Démonstration par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.4 Démonstration par disjonction des cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.5 Démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.6 Le contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Ensembles et relations 15 2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Appartenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Partie d’un ensemble. Ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3 Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.4 Diﬀérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.5 Diﬀérence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.6 Produit d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Image directe et réciproque d’une partie par une application . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 Image directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.3 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.4 Surjection. Injection. Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.5 Restrictions et prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ENSAM CASABLANCA TABLE DES MATIÈRES 3 2.5.1 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5.3 Éléments remarquables d’un ensemble ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Arithmétique 40 3.1 Multiples et diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1 PGCD de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2.1 Égalité de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ cours-algebre-s1.pdf