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Chapitre III : Notation complexe des grandeurs électriques A.KASDI2017 Page 23

Chapitre III : Notation complexe des grandeurs électriques A.KASDI2017 Page 23 III.1 INTRODUCTION Nous avons vu au chapitre précédent que la représentation vectorielle des grandeurs électriques est un outil qui permet de manipuler plus facilement ces grandeurs comparativement à l’utilisation de la forme instantanée. Néanmoins, cette représentation, vu qu’elle est graphique, est caractérisée par sa lenteur à cause de la nécessité de construire des diagrammes parfois fastidieux. Nous allons voir que l’utilisation des nombres complexes, dont la représentation est semblable aux vecteurs, est plus avantageuse car les opérations sont plus simples à effectuer. III.2 RAPPELS SUR LES NOMBRES COMPLEXES Un nombre complexe z est défini par l’équation : . z a j b   (III.01) Où a et b sont des réels et j un nombre imaginaire tel que : 2 1 ( 1). j j    a représente la partie réelle de z, on note ( ) a e z  . b représente la partie imaginaire de z, on note =Im( ) b z . Remarque : La lettre j est utilisée ici en remplacement de la lettre i (habituellement utilisée en mathématique) pour éviter la confusion avec le symbole ‘i’ du courant. III.2.1 Module et argument Le module ou la norme de z est : 2 2 Z z a b    L’argument de z est tel que : Im( ) ( ) ( ) z b tg e z a    III.2.2 Représentation graphique d'un nombre complexe Dans un plan muni d’un repère orthonormé( , ) i j u u   , on peut associer au complexe z le vecteur : . . i j V a u b u        (III.02) On dit alors que . z a j b   est l’aﬃxe du vecteur V   V    b =Z.sin() (Im) j u   a= Z.cos() z ( e) i u   Chapitre III : Notation complexe des grandeurs électriques A.KASDI2017 Page 24 III.2.3 Différentes formes La forme vue précédemment ( . z a j b   ) mettant en évidence les parties réelle et imaginaire de z est appelée forme algébrique. L’utilisation du module Z et de l’argument donne lieu à deux autres formes : La forme trigonométrique : .(cos .sin ) z Z j     (III.03) La forme exponentielle : . j z Z e   (III.04) III.2.4 Relations remarquables Des relations précédentes, on note les valeurs remarquables suivantes :  cos( )  sin( )  .cos a Z   .sin b Z   . j z Z e   . j e  0 1 0 Z 0 Z 1 2   0 +1 0 Z j.Z j 2   0 -1 0 –Z -j.Z –j III.2.5 Complexe conjugué On définit le complexe conjugué de z ( . . j z a j b Z e     ) comme suit: * . . j z a j b Z e      (III.05) III.2.6 Propriétés des opérations entre nombres complexes Soit deux nombres complexes : 1 1 1 1 1 . . j z a j b Z e     et 2 2 2 2 2 . . j z a j b Z e     Les nombres complexes obéissent aux mêmes règles de calcul que celles effectuées sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division). On obtient ainsi les relations suivantes. III.2.6.1 Addition (ou soustraction) Si 1 2 z z z   , alors :     1 1 2 2 1 2 1 2 = . . z a j b a j b a a j b b        (III.06) Pour additionner (ou soustraire) deux nombres complexes on utilise de préférence la notation cartésienne Chapitre III : Notation complexe des grandeurs électriques A.KASDI2017 Page 25 III.2.6.2 Produit Si 1 2 z z z   , alors :   1 2 1 2 1 2 1 2 . . . . j j j z Z e Z e Z Z e         (III.07) III.2.6.3 Division Si 1 2 z z z  , alors :   1 1 2 2 1 1 2 2 . . . j j j Z e Z z e Z e Z        (III.08) III.3 REPRÉSENTATION COMPLEXE DES GRANDEURS ÉLECTRIQUES Soit la grandeur sinusoïdale :    sin x t X t     En notation complexe x(t) sera représentée par le complexe : ( ) . . j t j j t j t x X e X e e X e          (III.09) où ; . j X X e   est l’amplitude complexe. (III.10) Il y a lieu de noter que la grandeur électrique traitée (x(t)) ne constitue qu’une partie du nombre complexe x. En effet : ( ) . cos( ) . sin( ) j t x X e X t j X t             (III.11) Si la grandeur électrique est écrite en fonction du cosinus elle sera représentée par la partie réelle du nombre complexe ( ( ) ( ) x t e x  ), et si elle est écrite sous forme de sinus elle sera représentée par la partie imaginaire du nombre complexe ( ( ) Im( ) x t x  ). Dans la représentation vectorielle des grandeurs électriques la rotation des vecteurs (dû à la pulsation ) est omise, ce qui permet de prendre en compte que les phases à l’origine. De même, le terme j t e , commun à toutes les grandeurs sinusoïdales, est lui aussi ignoré car s’éliminant Pour calculer le produit de deux nombres complexes on utilise de préférence la notation polaire Pour calculer le rapport de deux nombres complexes on utilise de préférence la notation polaire Le module du produit est égal au produit des modules L’argument du produit est égal à la somme des arguments Le module du quotient est égal au rapport des modules L’argument du quotient est égal à la différence des arguments Chapitre III : Notation complexe des grandeurs électriques A.KASDI2017 Page 26 tout seul dans les différentes opérations sur les grandeurs électriques (loi des mailles, loi des nœuds…). Néanmoins, ce terme doit apparaitre lorsqu’il s’agit d’effectuer une opération de dérivation ou d’intégration. L’amplitude complexe . j X X e   est aussi appelée phaseur. C’est la notation raccourcie du complexe x (représentant le signal x(t)) qui contient les deux informations essentielles du signal à savoir l’amplitude X et la phase à l’origine . On utilise aussi la notation angulaire compacte suivante : X X    , III.3.1 Représentation d’une tension    2 sin u u t U t      . u j u u U e U      [V] III.3.2 Représentation d’un courant    2 sin i i t I t      . i j i i I e I     [A] III.3.3 Représentation d’une impédance L'impédance complexe est représentée par : . j z Z e   Z est l'impédance en ohms (Ω). φ est le déphasage entre le courant et la tension. III.3.4 Puissance électrique en complexe Soit un dipôle z traversé par un courant i et ayant une tension u à ces bornes. Si . et . u i j j u U e i I e     , alors la puissance apparente S en complexe est définie par : * S u i   (III.12) Où i* est le complexe conjugué du courant i.    . . . . u i u i j j j j S U e I e U Ie U Ie S               (III.13) En utilisant la forme polaire : . . (cos sin ) . .cos . . sin j S U Ie U I j U I jU I           .cos . sin S S j S P jQ       (III.14) Avec : 2 2 S P Q   . .(cos sin ) j X X X e X j          Z i u On voit bien que P et Q sont de nature différente l’un étant réel (P) et l’autre imaginaire (Q) Chapitre III : Notation complexe des grandeurs électriques A.KASDI2017 Page 27 III.4 APPLICATION DES COMPLEXES EN ÉLECTRICITÉ Toutes les relations que nous uploads/s3/ cours-elt1-kasdi-chapitre-3n.pdf