Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel

Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 1 CHAPITRE N° Partie : Algebre & Analyse SUITES - Cours D’abord quelques petits rappels : ● 0 1 a = ● 1 a a = ● 1 m m a a − = ● m m n n a a a − = ● m n m n a a a + × = ● n n n a a b b  =     ● ( )( ) 2 1 1 1 a a a − + = − ● si 0, a ≠ alors 2 1 1 1 a a a − = + − 1 – Notion : Une suite comme son nom l’indique, c’est par exemple dans l’ensemble ℕ : ❶ 0, 1, 2, 3, 4 , …………….., n ou encore ❷ 2, 4, 6, 8, 10, ……………., 2n pour les nombre pairs. C’est donc une liste de nombres. On peut noter les éléments de la liste comme suit : 0 1 2 , , , u u u ……….. 1 , , , n n u u + ……... On appelle 0 u le 1er terme, 1 u le 2è terme, 2 u le 3è terme et on dit que la suite a pour terme général n u (avec n∈ℕ). Définition : Comme avec l’application f qui associe un antécédent x à une image y , une suite numérique u associe n à ( ) u n noté aussi n u . En mathématique, cela s’écrit comme suis : : n u n u → ℕ ℝ ֏ Donc, n prendra ses valeur dans ℕ et n u dans ℝ. On note cette suite ( ) n n u ∈ℕ ou ( ) 0 n n u ≥ ou même ( ) n u . Attention !!! à ne pas confondre ( ) n u qui est la suite et n u son terme général. Exemple ❶ ❶ ❶ ❶ : Considérons une suite numérique ( ) n u où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3, les termes successifs suivants sont : 0 3 u = , 1 8 u = , 2 13 u = , 3 18 u = . Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 2 On peut écrire ici le terme général de la suite ( ) n u : n u = 5 3 n + , du coup, grâce à ce terme général, on peut déterminer, par exemple, 20 u = …….. (à toi)* Réponse à la fin. 2 – Mode de Génération d’une suite numérique A – Suite définie par l’expression de n u en fonction de n par une formule explicite. On peut donner une suite par l’expression du terme général n u en fonction de n . Dans ce cas, on sais calculer directement n’importe quel terme de la suite. Exemple ❷ ❷ ❷ ❷ : • Soit la suite ( ) n u définie sur ℕ par ( ) 3 n n u = − On peut calculer par exemple : ( ) 0 0 3 1 u = − = ; ( ) 1 1 3 3 u = − = − ; ( ) 10 10 3 59 049 u = − = . • Soit la suite ( ) n v définie sur ℕ par 2 1 n v n = + . On a : 0 2 0 1 1 v = × + = ; 1 2 1 1 3 v = × + = ; 50 2 50 1 101 u = × + = . Lorsqu'on génère une suite par une formule explicite, chaque terme de la suite est exprimé en fonction de n et indépendamment des termes précédents. B – Suite définie par récurrence. Définition : Une suite est définie par récurrence quand elle définie par la donnée : • De son premier terme, • D’une relation qui permet de calculer à partir de chaque terme le terme suivant. Cette relation est appelée relation de récurrence. Exemples ❸ ❸ ❸ ❸ : - On définit la suite n u par : 0 5 u = et chaque terme de la suite est le triple de son précédent. Les premiers termes de cette suite sont donc : 0 5 u = , 1 0 3 3 5 15 u u = × = × = , 2 1 3 3 15 45 u u = × = × = . Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 3 - On définit la suite n v par : 0 3 v = et pour tout n de ℕ, 1 4 6 n n v v + = − Les premiers termes de cette suite sont donc : 0 3 v = , 1 0 4 6 4 3 6 6 v v = − = × − = , 2 1 4 6 4 6 6 18 v v = − = × − = , 3 2 4 6 4 18 6 66 v v = − = × − = . Contrairement à une suite définie par une formule explicite, il n'est pas possible, dans l'état, de calculer par exemple 13 v sans connaître 12 v . Cependant il est possible d'écrire un algorithme sur une calculatrice programmable. - On définit la suite ( ) n w par : pour tout n de { } \ 0 ℕ c'est-à-dire { } 0 − ℕ , 1 2 3 n w = + + + ……. n + Les premiers termes de cette suite sont donc : 1 1 w = , 2 1 2 1 2 3 w w = + = + = , 3 2 3 3 3 6 w w = + = + = , 4 3 4 6 4 10 w w = + = + = . Lorsqu'on génère une suite par une relation de récurrence, chaque terme de la suite s'obtient à partir d'un ou plusieurs des termes précédents. A noter : Le mot récurrence vient du latin recurrere qui signifie "revenir en arrière". C - Représentation graphique d'une suite Dans un repère du plan, on représente une suite par un nuage de points de coordonnées( ) ; n n u . Bien comprendre la construction des termes de cette suite selon wn Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 4 Exemple ❹ ❹ ❹ ❹ : Pour tout n de ℕ, on donne : 2 3 2 n un = − . On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite : n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 un -3 -2,5 -1 1,5 5 9,5 15 21,5 29 Il est aisé d'obtenir un nuage de points à l'aide d'un logiciel. 3 - Sens de variation d'une suite numérique Exemple ➎ ➎ ➎ ➎ : On a représenté ci-dessous le nuage de points des premiers termes d'une suite (un) : On peut conjecturer que cette suite est croissante pour 3 n≥ . Lycée J. LURÇAT Cours de Mathématique 1S2 Enseignant : RAKOTONANDRASANA Daniel 5 Définitions : Soit un entier p et une suite numérique ( ) n u . - La suite ( ) n u est croissante à partir du rang p signifie que pour n p ≥ , on a 1 n n u u + ≥ . - La suite ( ) n u est décroissante à partir du rang p signifie que pour n p ≥ , on a 1 n n u u + ≤ . Méthode : Etudier les variations d'une suite 1) Pour tout n de ℕ, on donne la suite ( ) n u définie par : ² 4 4 n u n n = − + . Démontrer que la suite ( ) n u est croissante à partir d'un certain rang. On commence par calculer la différence 1 u un n − + : ( ) ( ) 2 2 1 4 1 4 4 4 1 2 2 2 1 4 4 4 4 4 2 3 u u n n n n n n n n n n n n − = + − + + − + − + = + + − − + − + − = − On étudie ensuite le signe de 1 u un n − + : 0 1 u un n − ≥ + pour 2 3 0 n − ≥ pour 1,5 n ≥ . Ainsi pour 2 n ≥ (n est entier), on a 0 1 u un n − ≥ + . On en déduit qu'à partir du rang 2, la suite ( ) n u est croissante. A vérifier avec GeoGebra par la fonction associée ( ) ² 4 4 f x x x uploads/s3/ cours-suites-1s2.pdf