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UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI FACULTE DES SCIENCES D’ EL JADIDA COURS DE THERMODY

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI FACULTE DES SCIENCES D’ EL JADIDA COURS DE THERMODYNAMIQUE MODULE : PHYSIQUE 1 PROFESSEUR : S. SAHNOUN PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013 1 CHAPITRE I : DEFINITIONS - GENERALITES Préliminaire mathématique Soit f = f(x,y) une fonction de 2 variables. Sa différentielle est dy y f dx x f f x y         ∂ ∂ +       ∂ ∂ = δ ou Qdy Pdx f + = δ Avec y x f       ∂ ∂ est la dérivée de la fonction f par rapport à x en considérant y comme constante et x y f         ∂ ∂ est la dérivée de la fonction f par rapport à y en considérant x comme constante. δF sera une différentielle totale exacte si       ∂ ∂ =       ∂ ∂ y Q x P c-à-d               ∂ ∂ ∂ ∂ =                 ∂ ∂ ∂ ∂ y x x f y y f x Remarque : par convention : df : différentielle totale exacte, δf : forme différentielle quelconque - f1(x,y) = x(y+x2) , calculer la différentielle δf Réponse : on a y x f       ∂ ∂ = (y + 3x2 ) et x y f         ∂ ∂ =x donc δf1 = (y+3x2 )dx + xdy est ce que δf1est elle exacte         ∂ ∂ ∂ ∂ y f x =1 et       ∂ ∂ ∂ ∂ x f y =1 - soit δf =(2x + y) dx + (y3+ 2x) dy est elle exacte ? Réponse : PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013 2 On a         ∂ ∂ ∂ ∂ y f x =2 et       ∂ ∂ ∂ ∂ x f y =1 Donc elle n’est pas exacte EXERCICES - Soit la fonction V nRT T V P = ) , ( Calculez la forme différentielle de la pression dV V P dT T P P T V ) ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = δ ? est elle une différentielle totale exacte ? On calcule Les dérivées partielles de P V nR T P V = ∂ ∂) ; 2 ) V nRT V P T − = ∂ ∂ donc dV V P dT T P P T V ) ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = δ d’où dV V nRT dT V nR P 2 − = δ Montrons si elle est exacte On calcul les dérivées mixtes : V T V P T ) ) (∂ ∂ ∂ ∂ et T V T P V ) ) (∂ ∂ ∂ ∂ On trouve que 2 ) ) ( V nR V P T V T − = ∂ ∂ ∂ ∂ et 2 ) ) ( V nR T P V T V − = ∂ ∂ ∂ ∂ donc elle est une différentielle totale exacte - Soit δf = y(1 + 2x) dx + x(1 + x) dy Rep : On a x x f       ∂ ∂ = y(1 + 2x) et x y f         ∂ ∂ = x(1 + x)       ∂ ∂ ∂ ∂ x f y = (1 + 2x) et         ∂ ∂ ∂ ∂ y f x = (1 + 2x) donc δf est une différentielle totale exacte et df= y(1 + 2x) dx + x(1 + x) dy PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013 3 Calculons sa primitive F(x,y) Posons x x f       ∂ ∂ = y(1 + 2x) et x y f         ∂ ∂ = x(1 + x) (2) on aura alors f(x,y) ) ( ) ( ) ( ) , ( 2 y g x x y y g dx x f y x f x + + = +       ∂ ∂ = ∫ (3) Calculons g(y) à partir de (2) et (3) on obtient : ) ( ' ) 1 ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ( ) , ( 2 2 y g x x y g x x y y g x x y y y x F x x + + = + + =         ∂ + + ∂ =         ∂ ∂ d’où g(y)=Cste Conclusions f(x,y) = y(x+x2) + Cste Exercices * Intégrer les formes différentielles suivantes si elles sont exactes : δf = (4x + xy2) dx + (x2y - 1 + y3) dy dy y dx y x g ) 1 ( 1 2 − + + = δ * Les coefficient thermoélastiques d’ un fluide homogène sont 1) P p T V V ) 1 ∂ ∂ = α :c’est le coefficient de dilatation isobare .il représente la variation relative du volume du fluide par degré de variation de sa température L’unité de p α : 1 − kelvin 2) T T P V V ) 1 ∂ ∂ − = χ : c’est le coefficient de compressibilité isotherme. Il représente au signe – près la variation relative du volume du fluide par unité de variation de sa pression . L’unité de T χ : 1 − pascal PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013 4 3) V V T P P ) 1 ∂ ∂ = β : c’est le coefficient d’augmentation de pression isochore .il représente la variation relative de la pression du fluide par degré de variation de sa température L’unité de V β : 1 − kelvin 1°) Calculer les coefficients thermoélastiques du gaz parfait c à d : α ∂ ∂ = 1 V V T P ( ) , β ∂ ∂ =1 p p T V ( ) , χ ∂ ∂ T T V V p =−1( ) . 2°) Vérifier que : α=βpχT 3°) Montrer que les coefficients α et χT vérifient toujours la relation : ∂α ∂p       T = - ∂χT ∂T       p. 4°) A partir des valeurs de α et β, essayez de retrouvez l’équation du Gaz parfait PV=nRT. (On effectue le calcul inverse car les données expérimentales sont les coefficients thermoélastiques). Rép : 1°) α=β=1/T et χT=1/p 2°) pβχT=α 3°) PV/T=cste=nR Exercice : Construction d’une équation d’état à partir des coefficients thermoélastiques. On définit le coefficient de dilatation isobare α et le coefficient de compressibilité isotherme χT par : PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013 5 P T V V       ∂ ∂ = α 1 et T T P V V       ∂ ∂ − = 1 χ 1) Que valent ces coefficients pour un gaz parfait ? 2) Les coefficients α et χT d’un gaz réel ont été mesurés et trouvés de la forme : BP AT A + = α BP AT B P T + − = χ 1 Où A et B sont des constantes propres au gaz considéré. a. Quelle est l’équation d’état à laquelle obéit ce gaz ? b. Comment s’écrirait cette équation à très haute température et très faible pression ? DEVOIR - L’expression de la pression d’un gaz réel est donnée par : 2 2 ) . ( V a n nb V nRT T V P − − = - Intégrer sa forme différentielle si elle est exacte ? * Relation entre les dérivées partielles : Soit la fonction z à deux variables x et y z=z(x,y) y=y(x,z) x=x(y,z) leurs différentielles totales exactes sont : PROFESSEUR SAHNOUN 2012-2013 6 dz z x dy y x dx y z ) ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = 1 dz z y dx x y dy x z ) ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 dy y z dx x z dz x y ) ) ∂ ∂ + ∂ ∂ = 3 En injectant 1 dans 3, on trouve : dy y z dz z x x z dy y x x z dz x y y z y ) ) ) ) . ) ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = dy y z dy y x x z dz z x x z dz x z y y y ) ) . ) ) ) ∂ ∂ + ∂ ∂ uploads/s3/ cours-thermodunamique-sahnoun-pdf.pdf