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Chap 3 2 Chapitre Problèmes paraboliques la discrétisation en temps On a vu au paragraphe comme exemple type de problème parabolique l ? équation de la chaleur instationnaire ut ?? ? u f qui fait intervenir la dérivée en temps d ? ordre ut ainsi qu ? un o

Chapitre Problèmes paraboliques la discrétisation en temps On a vu au paragraphe comme exemple type de problème parabolique l ? équation de la chaleur instationnaire ut ?? ? u f qui fait intervenir la dérivée en temps d ? ordre ut ainsi qu ? un opérateur di ?érentiel d ? ordre en espace Pour que ce problème soit bien posé il faut spéci ?er des conditions aux limites sur la frontière de et une condition initiale en t Le problème continu et la discrétisation espace-temps On considère maintenant le même problème en une dimension d ? espace Au temps t on se donne une condi- tion initiale u et on considère des conditions aux limites de type Dirichlet homogène Le problème unidimen- sionnel s ? écrit F F F F F F F F ut ?? uxx ??x ?? ??t ?? T F F F F F F u x u x ??x ?? u t u t ??t ?? T o? u x t représente la température au point x et au temps t ut désigne la dérivée partielle première de u par rapport à t et uxx la dérivée partielle seconde de u par rapport à x On admettra le théorème d ? existence et unicité suivant Théorème Résultat d ? existence et unicité Si u ?? C IR alors il existe une unique fonction u ?? C ? T IR ?? C ? T IR qui véri ?e On a même u ?? C ? ? T IR Ceci est appelé e ?et ??régularisant de l ? équation de la chaleur Proposition Principe du maximum Sous les hypothèses du théorème soit u la solution du problème si u x ? pour tout x ?? alors u x t ? pour tout t ? pour tout x ?? u L ? ? T ? u L ? C DISCRÉTISATION PAR EULER EXPLICITE EN TEMPS CHAPITRE EDP PARABOLIQUES Ces dernières propriétés peuvent être importantes dans le modèle physique supposons pas exemple que u repré- sente une fraction massique Par dé ?nition de la fraction massique celle-ci est toujours comprise entre et La proposition précédente nous dit que la quantité u donné par le modèle mathématique supposé représenter la fraction massique d ? une espèce qui di ?use dans un milieu par exemple est aussi comprise entre et dès que la fraction massique initiale u est dans l ? intervalle ce qui est plutôt une bonne nouvelle le modèle mathématique respecte les bornes de la physique Mais on ne peut pas en général calculer la solution de de manière analytique On a recours à la disrétisation en temps et en espace pour se ramener à un système d ? équations de dimension ?nie Il est souhaitable pour la validité du calcul que la solution approchée obtenue par la résolution de ce système qui est supposée approcher une fraction massique soit aussi comprise à tout instant entre et On dit souvent d ? une méthode de discrétisation ou d ? un