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27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki

27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area 1/6 Deuxième moment de la zone Le 2 ème moment d'aire , ou second moment d'aire , également appelé moment d'inertie d'aire , est une propriété géométrique d'une aire qui reflète la répartition de ses points par rapport à un axe arbitraire. Le deuxième moment de l'aire est généralement désigné par un (pour un axe situé dans le plan) ou avec un (pour un axe perpendiculaire au plan). Dans les deux cas, il est calculé avec une intégrale multiple sur l'objet en question. Sa dimension est L (longueur) à la quatrième puissance. Son unité de dimension quand on travaille avec le système international d'unités est le mètre à la quatrième puissance, m 4 , ou pouces à la quatrième puissance, en 4 , quand on travaille dans le système impérial d'unités . En ingénierie structurelle , le deuxième moment de l'aire d'une poutre est une propriété importante utilisée dans le calcul de la déflexion de la poutre et le calcul de la contrainte causée par un moment appliqué à la poutre. Afin de maximiser le deuxième moment de surface, une grande partie de la section transversale d'une poutre en I est située à la distance maximale possible du centre de gravité de la section transversale de la poutre en I. Le second moment de surface planaire donne un aperçu de la résistance d'une poutre à la flexion due à un moment appliqué, une force ou une charge répartie perpendiculairement à son axe neutre, en fonction de sa forme. Le deuxième moment polaire de l'aire donne un aperçu de la résistance d'une poutre à la déformation en torsion, due à un moment appliqué parallèle à sa section transversale, en fonction de sa forme. Remarque: Différentes disciplines utilisent le terme moment d'inertie ( MOI ) pour désigner différents moments. Il peut se référer à l'un des deuxièmes moments planaires de l'aire (souvent , par rapport à un plan de référence), ou le deuxième moment polaire de l'aire ( , où r est la distance à un axe de référence). Dans chaque cas, l'intégrale est sur tous les éléments infinitésimaux de l' aire , dA, dans une section transversale bidimensionnelle. En physique, le moment d'inertie est strictement le deuxième moment de masse par rapport à la distance à un axe: , Où r est la distance à un certain axe de rotation potentielle, et l'intégrale est au-dessus de tous les éléments de infinitésimales de masse , Dm, dans un espace à trois dimensions occupée par un objet Q . Le MOI, dans ce sens, est l'analogue de la masse pour les problèmes de rotation. En ingénierie (en particulier mécanique et civile), le moment d'inertie se réfère généralement au deuxième moment de la zone. [1] Définition Moment de produit de la zone Théorème d'axe parallèle Théorème de l'axe perpendiculaire Formes composites Exemples Rectangle avec centroïde à l'origine Anneau centré à l'origine Tout polygone Contenu 27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area 2/6 Une forme arbitraire. ρ est la distance radiale à l'élément d A , avec des projections x et y sur les axes. Voir également Références Le deuxième moment de surface pour une forme arbitraire R par rapport à un axe arbitraire est défini comme où est l'aire différentielle de la forme arbitraire, et est la distance de l'axe à . [2] Par exemple, lorsque l'axe de référence souhaité est l'axe des x, le deuxième moment de l'aire (souvent désigné par ) peut être calculé en coordonnées cartésiennes comme Le deuxième moment de la zone est crucial dans la théorie d' Euler – Bernoulli des poutres élancées. Plus généralement, le moment produit de l'aire est défini comme [3] Il est parfois nécessaire de calculer le deuxième moment d'aire d'une forme par rapport à un axe différent de l' axe centroïde de la forme. Cependant, il est souvent plus facile de déduire le deuxième moment de l'aire par rapport à son axe centroïde, , et utilisez le théorème d'axe parallèle pour dériver le deuxième moment de l'aire par rapport au axe. Les états du théorème de l'axe parallèle où est l'aire de la forme, et est la distance perpendiculaire entre le et axes. [4] [5] Une déclaration similaire peut être faite à propos d'un axe et le centroïde parallèle axe. Ou, en général, tout centre de gravité axe et un parallèle axe. Définition Moment produit de la zone Théorème d'axe parallèle 27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area 3/6 Une forme avec l' axe centroïde x . Le théorème d'axe parallèle peut être utilisé pour obtenir le deuxième moment de surface par rapport à l' axe x ' . Pour la simplicité du calcul, il est souvent souhaité de définir le moment polaire de l'aire (par rapport à un axe perpendiculaire) en termes de deux moments d'inertie d'aire (tous deux par rapport à des axes dans le plan). Le cas le plus simple concerne à et . Cette relation repose sur le théorème de Pythagore qui rapporte et à et sur la linéarité de l'intégration . Pour les zones plus complexes, il est souvent plus facile de diviser la zone en une série de formes «plus simples». Le deuxième moment de surface pour la forme entière est la somme du deuxième moment de surfaces de toutes ses parties autour d'un axe commun. Cela peut inclure des formes qui sont «manquantes» (c'est-à-dire des trous, des formes creuses, etc.), auquel cas le deuxième moment de la surface des zones «manquantes» est soustrait plutôt qu'additionné. En d'autres termes, le deuxième moment de surface des pièces "manquantes" est considéré comme négatif pour la méthode des formes composites. Voir la liste des seconds moments de la zone pour d'autres formes. Considérons un rectangle avec une base et hauteur dont le centre de gravité est situé à l'origine. représente le deuxième moment de l'aire par rapport à l'axe des x; représente le deuxième moment de l'aire par rapport à l'axe y; représente le moment d'inertie polaire par rapport à l'axe z. Théorème d'axe Perpendiculaire Formes composites Exemples Rectangle avec barycentre à l'origine 27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area 4/6 Rectangle avec base b et hauteur h Anneau de rayon intérieur r 1 et rayon extérieur r 2 En utilisant le théorème de l'axe perpendiculaire, nous obtenons la valeur de . Considérons un anneau dont le centre est à l'origine, le rayon extérieur est , et le rayon intérieur est . En raison de la symétrie de l'anneau, le centroïde se trouve également à l'origine. On peut déterminer le moment d'inertie polaire, , à propos de axe par la méthode des formes composites. Ce moment d'inertie polaire est équivalent au moment d'inertie polaire d'un cercle de rayon moins le moment d'inertie polaire d'un cercle de rayon , tous deux centrés à l'origine. Premièrement, dérivons le moment d'inertie polaire d'un cercle de rayon par rapport à l'origine. Dans ce cas, il est plus facile de calculer directement comme nous l'avons déjà , qui a à la fois un et composant. Au lieu d'obtenir le deuxième moment de l'aire à partir des coordonnées cartésiennes comme cela a été fait dans la section précédente, nous calculerons et directement en utilisant les coordonnées polaires . Maintenant, le moment d'inertie polaire sur le l'axe pour un anneau est simplement, comme indiqué ci-dessus, la différence des seconds moments d'aire d'un cercle de rayon et un cercle avec un rayon . Alternativement, nous pourrions modifier les limites du intégrale la première fois pour refléter le fait qu'il y a un trou. Ce serait fait comme ça. Annulus centrée à l' origine 27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area 5/6 Un simple polygone. Ici, , notez que le point "7" est identique au point 1. Le deuxième moment d'aire autour de l'origine pour tout polygone simple sur le plan XY peut être calculé en général en additionnant les contributions de chaque segment du polygone après avoir divisé l'aire en un ensemble de triangles. Cette formule est liée à la formule du lacet et peut être considérée comme un cas particulier du théorème de Green . Un polygone est supposé avoir sommets, numérotés dans le sens anti- horaire. Si les sommets du polygone sont numérotés dans le sens des aiguilles d'une montre, les valeurs renvoyées seront négatives, mais les valeurs absolues seront correctes. [6] [7] où sont les coordonnées de -ème sommet du polygone, pour . Aussi, sont supposées égales aux coordonnées du premier sommet, c'est-à-dire et . [8] [9] Liste des seconds moments de la zone Liste des moments d'inertie Moment d'inertie Théorème d'axe parallèle Théorème de l'axe perpendiculaire Rayon de giration 1. Bière, Ferdinand P. (2013). Vector Mechanics for Engineers (10e éd.). New York: McGraw-Hill. p. 471. ISBN 978-0-07-339813-6. "Le terme second moment est plus approprié que le terme Tout polygone Voir aussi Références 27/08/2020 Deuxième moment de la zone - Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Second_moment_of_area 6/6 moment d'inertie, puisque, logiquement, ce dernier ne doit être utilisé que pour désigner des intégrales de uploads/s3/ deuxieme-moment-de-la-zone-wikipedia.pdf