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Exercice corrigé en régime sinusoïdal monophasé On demande d’établir les expres

Exercice corrigé en régime sinusoïdal monophasé On demande d’établir les expressions des intensités du courant dans chaque branche et des tensions aux bornes de chaque dipôle, par rapport à la tension d’alimentation U, dans le cas du circuit ci-dessous. On donne : ) 314 sin( 2 220 ) ( t t u = Correction 1- Méthode vectorielle: Sachant que ) 314 sin( 2 220 ) ( t t u = , on peut déduire ce qui suit: o V U 220 = : tension efficace; o s rd / 314 = ω , soit Hz f 50 = ; o Le déphasage à l'origine est nul. v Déterminons, d'abord, l'impédance équivalente du circuit R-L parallèle: Représentation de Fresnel: La tension u R(t) = u L(t), aux bornes du circuit parallèle est prise comme référence pour les courants dans les deux branches. Ce qui nous permet de tracer le graphique suivant: Nous avons donc: L R I I I r r r + = et par conséquent: 2 2 2 L R I I I + = Soit : 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ω L U R U Z U Z U L L RL L RL R + = = D'où, - module: s Y L R Z RL RL 010346 , 0 ) ( 1 1 1 2 2 = =         + = ω et Ω = = 65 , 96 1 RL RL Y Z - déphasage de I r par rapport à R U r : ° − =       − =         − = 86 , 14 ) / ( ω ϕ L R arctg I I arctg R L U I Z RL Z peut s'écrire, alors: ° + Ω = 86 , 14 65 , 96 RL Z v Déterminons, ensuite, l'impédance équivalente totale: Le circuit est composé d'une impédance RL Z en série avec une capacité C . Le courant leur est donc commun, dans la représentation de Fresnel ce dernier sera pris comme référence. Nous avons: C Z U U U r r r + = D'où: - Module: ( ) C Z C Z C Z U U U U U U U r r , cos 2 2 2 2 + + = Ce qui nous permet d'écrire, en simplifiant par I : ( ) C Z C RL C RL U U Z Z Z Z Z r r , cos 2 2 2 2 + + = Soit ( ) C Z C RL C RL U U Z Z Z Z Z r r , cos 2 2 2 + + = Sachant que ° = + = 86 , 104 90 ) , ( Z C Z U U ϕ r r et Ω = = = 85 , 31 1 ω C X Z C C Ω = 7 , 93 Z - Déphasage de U par rapport à I: On a: C Z Z U U U − = ϕ ϕ sin sin Ou encore: C Z RL Z Z Z − = ϕ ϕ sin sin Soit       − = Z Z Z C Z RL ϕ ϕ sin arcsin ° − = 32 , 4 ϕ : L'impédance totale est de type capacitive, la tension est en retard sur le courant. ° − Ω = 32 , 4 7 , 93 Z v Détermination des grandeurs partielles : v Détermination du l'intensité du courant total: A Z U I 35 , 2 7 , 93 220 = = = Le déphasage de entre I r et U r est rd 075 , 0 32 , 4 = ° = ϕ , le courant est en avance sur la tension. L'intensité du courant instantané ) (t i s'écrit: ) 075 , 0 314 sin( 2 35 , 2 ) ( + = t t i v Détermination de la tension aux bornes de RL Z : V I Z U RL Z 13 , 227 35 , 2 65 , 96 = × = = Son déphasage par rapport à I est rd Z 26 , 0 86 , 14 − = ° − = ϕ Sachant que le déphasage entre I et U estϕ , le déphasage de Z U par rapport à U est rd Z 33 , 0 18 , 19 86 , 14 32 , 4 ) ( = ° = + = + − ϕ ϕ La tension instantanée ) (t uZ s'écrit: ) 33 , 0 314 sin( 2 13 , 227 ) ( + = t t uZ v Détermination de l'intensité du courant dans la résistance R : A R U I Z R 27 , 2 100 13 , 227 = = = Sachant que le courant R I r et la tension Z U r sont en phase, l'intensité du courant instantané s'écrit: ) 33 , 0 314 sin( 2 27 , 2 ) ( + = t t iR v Détermination de l'intensité du courant dans l'inductance L : A L U I Z L 6 , 0 8 , 376 13 , 227 = = = ω Sachant que le courant L I r est en quadrature de phase retard sur Z U r et R I r , le déphasage de L I r par rapport à U r est: rd Z 24 , 1 82 , 70 18 , 19 90 ) 32 , 4 86 , 14 ( 90 ) ( 90 − = ° − = + − = − − − − = + − ° − ϕ ϕ L'intensité du courant instantané ) (t iL s'écrit: ) 24 , 1 314 sin( 2 6 , 0 ) ( − = t t iL v Détermination de la tension aux bornes de C: V e C I U C 84 , 74 314 100 35 , 2 6 = × = = − ω Sachant que la tension C U r est en quadrature de phase arrière sur le courant I r , son déphasage par rapport à U r est: rd 5 , 1 68 , 86 90 32 , 4 90 − = ° − = − = ° − ϕ La tension instantanée ) (t uC s'écrit: ) 5 , 1 314 sin( 2 84 , 74 ) ( − = t t uC 2- Méthode complexe: v Détermination de l'impédance complexe RL Z : ( ) 8 , 24 42 , 93 87 , 14 sin 87 , 14 cos 66 , 96 66 , 96 66 , 96 8 , 389 37680 8 , 376 100 37680 87 , 14 ) 13 , 75 90 ( 13 , 75 90 j j e e e e j j jL R jRL Z j j j j RL + = + = = = = + = + = − ω ω v Détermination de l'impédance complexe totale Z : 3 , 4 68 , 93 04 , 7 42 , 93 8 , 24 42 , 93 84 , 31 1 j RL e j j j Z jC Z − = − = + + − = + = ω ° − = 3 , 4 7 , 93 j e Z v Détermination des grandeurs partielles complexes : Les intensités et les tensions seront déterminées par rapport à la tension totaleU . On a alors: 0 0 220 j j e Ue U = = o Détermination du courant total: ° ° − = = = 3 , 4 3 , 4 35 , 2 7 , 93 220 j j e e Z U I ° = 3 , 4 35 , 2 j e I ) 075 , 0 314 sin( 2 35 , 2 ) ( + = t t i o Détermination de la tension ) (t uZ : ° = = = 17 , 19 3 , 4 87 , 14 15 , 227 35 , 2 . 66 , 96 . j j j RL Z e e e I Z U ° = 17 , 19 15 , 227 j Z e U ) 33 , 0 314 sin( 15 , 227 ) ( + = t t uZ o Détermination de l'intensité L I : ° − − ° = = = = = 83 , 70 ) 90 17 , 19 ( 90 17 , 19 90 6 , 0 6 , 0 8 , 376 15 , 227 j j j j j Z Z L e e e e e L U jL U I ω ω 83 , 70 6 , 0 j L e I − = ) 24 , 1 314 sin( 2 6 , 0 ) ( − = t t iL o uploads/s3/ exercice-corrige-en-regime-sinusoidal-monophase-pdf.pdf