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CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique Devoir n ˚ 6 - le 11 octobre - 4 heure

CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique Devoir n ˚ 6 - le 11 octobre - 4 heures Si vous détectez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, prévenez un enseignant ou notez le sur votre copie et poursuivez. Tout résultat non justiﬁé, toute formule non encadrée ne sera pas prise en compte. Vous attacherez une importance particulière à la rédaction. Calculatrices autorisées. I Électricité 1 CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique . 2 CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique . 3 CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique II Étude d’une bobine Les trois parties peuvent être traitées indépendamment. Figure 1 – spire b Z O M I a | | Figure 2 – solénoïde b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Z L a A B D C Opérateurs pour les champs en un point M(r, θ, z), dans la base cylindrique associée : 4 CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique div− → a (M) = 1 r ∂(r.ar) ∂r + 1 r.∂aθ ∂θ + ∂az ∂z − → rot− → a (M)                  1 r ∂az ∂θ −∂aθ ∂z ∂ar ∂z −∂az ∂r 1 r ∂(r.aθ) ∂r −1 r ∂ar ∂θ II.1 Champ magnétique en régime continu II.1-1 Champ crée par une spire en tout point de son axe On considère une spire de rayon a et d’axe OZ placée en z = 0, de centre O. Cette spire est parcourue par un courant d’intensité I (voir ﬁgure 1). II.1-1a Déterminer l’expression du champ magnétique en tout point M(z) sur l’axe de la spire, en fonction de z, a, µ0 et I. L’étude devra être rigoureuse. II.1-1b Donner l’allure de B(z). II.1-2 Champ crée par un solénoïde On étudie un solénoïde (ﬁgure 2) parcouru par un courant I comportant N spires, de longueur totale L et de rayon a. On négligera les eﬀets de bord. On admettra que le champ magnétique est nul à l’extérieur du solénoïde. On utilisera la base B(− → ur, − → uθ, − → uz) associées aux coordonnées cylindriques (r, θ, z). II.1-2a Déterminer le nombre de spires par unité de longueur n en fonction de N et L. II.1-2b Par des considérations de symétrie et d’invariance, justiﬁer qu’en tout point M(r, θ, z), le champ magnétique s’exprime − → B(M) = B(r).− → uz II.1-2c Rappeler l’équation de Maxwell-Ampère dans le cas général puis donner son expression dans le cas des régimes continus. II.1-2d En déduire l’expression du théorème d’ampère II.1-2e On choisit le contour proposé avec A(r, 0), B(r, h), C(R, h) et D(R, h). r < a < R. Appliquer le théorème d’Ampère. Exprimer B(r) en fonction de n, µ0 et I puis de N, L, µ0 et I. II.2 Étude en régime variable On admet que dans le cadre de l’ARQS, on a en tout point à l’intérieur du solénoïde − → B (M, t) = µ0.n.i(t).− → uz. Il n’existe pas de charges pour la distribution étudiée. II.2-1 Justiﬁer que l’on peut écrire le champ électrique sous la forme − → E = E(r).− → uθ. II.2-2 Donner l’expression de l’équation de Maxwell-Faraday et vériﬁer qu’elle amène à l’expression suivante du champ électrique : − → E (M, t) = −µ0.r.n 2 .di dt.− → uθ 5 CPGE Dupuy de Lôme 2010/2011 PC Physique II.2-3 Rappeler la déﬁnition du vecteur de Poynting puis l’exprimer en un point M en fonction de µ0, n, r, i et di dt II.2-4 On considère une surface Σ d’enveloppe un cylindre de rayon r = a−(on considèrera r ≡a) et de hauteur L, refermé par deux bases. Il s’agit donc de la surface à l’intérieur du solénoïde (dans l’air), limitant le solénoïde. Calculer le ﬂux sortant Φ à travers cette surface fermée du vecteur de Poynting. II.2-5 Rappeler l’équation de conservation de l’énergie. Que peut-on dire de la puissance volumique cédée aux porteurs de charges en tout point à l’intérieur du solénoïde ? En déduire une relation entre l’énergie électromagnétique totale Eem et Φ. II.2-6 Eem correspond à l’énergie emmagasinée par une bobine. Rappeler son expression en fonction de l’intensité i(t) et du coeﬃcient L, inductance de la bobine (relation vue en électrocinétique). II.2-7 En déduire l’expression de L en fonction de n, a, µ0 et L II.2-8 Quel est selon vous l’intérêt de placer des noyaux de “fer doux” à l’intérieur des solénoïdes ? II.3 Répartition du courant L’étude des conducteurs cylindriques en régime variable est complexe d’un point de vue calculatoire, on va donc modéliser ici le solénoïde par une “nappe” conductrice, assimilable à l’espace compris entre les plans x = 0 et x = +∞, de conductivité électrique σ. On note − → j = j(x, t).− → uy la densité volumique de courants dans cette partie de l’espace. On se place dans le cadre de l’ARQS. – On note − → E 0 = E0.cosωt.− → uy le champ électrique dans le vide en x = 0−. – On écrit sous la forme − → E = E(x, t).− → uy = E1.ei.(ωt−kx).− → uy la représentation complexe du champ élec- trique pour x > 0. – Il n’existe pas de courants surfaciques en x = 0 II.3-1 Pour tout point M à l’intérieur de la nappe, écrire les équations de Maxwell II.3-2 Rappeler l’expression de la loi d’Ohm locale II.3-3 En déduire une équation vériﬁée par − → E , puis par E(x, t), notée équation de la diﬀusion. II.3-4 Résoudre l’équation de la diﬀusion et déterminer ainsi l’expression de E(x, t). Donner l’expres- sion de − → E . On introduira une grandeur δ que l’on déﬁnira. II.3-5 Interpréter qualitativement l’expression obtenue. II.3-6 Sachant qu’il ny a pas de composante continue pour le champ magnétique, donner une relation liant les champs électrique et magnétique et en déduire l’expression du champ magnétique pour x > 0. II.3-7 Quelle est l’expression du champ magnétique − → B0 en x = 0−, en fonction de − → E0, ω et δ ? II.3-8 On souhaite déterminer l’énergie traversant une surface S du plan x = 0 par unité de temps, de l’air vers le conducteur, grandeur notée Φ. Exprimer Φ en fonction de E0, δ et µ0. 6 uploads/s3/ devoir-11-octobre.pdf