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École Nationale Supérieure de Géologie – Cours de première année – Outils Mathé

École Nationale Supérieure de Géologie – Cours de première année – Outils Mathématiques pour l’Ingénieur – Traitement du Signal – Benoît Marx, Maître de Conférences à l’Université de Lorraine Table des matières 1 Introduction et outils théoriques 1 1.1 Signaux et systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Systèmes linéaires et équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Équations diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Systèmes décrits par des équations diﬀérentielles linéaires, invariantes 4 1.2.2.1 De la linéarité d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2.2 De la causalité d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2.3 Quelques exemples de systèmes physiques ou chimiques . . 7 1.3 Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Propriétés des transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2.2 Dilatation ou contraction du temps . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2.3 Transformée de Laplace d’un signal retardé . . . . . . . . 11 1.3.2.4 Transformée de Laplace d’un signal modulé . . . . . . . . 11 1.3.2.5 Transformée de Laplace de la dérivée temporelle d’un signal 11 1.3.2.6 Transformée de Laplace de la primitive d’un signal . . . . 12 1.3.2.7 Détermination de la valeur initiale d’un signal . . . . . . . 12 1.3.2.8 Détermination de la valeur ﬁnale d’un signal . . . . . . . . 12 1.3.2.9 Transformée de Laplace d’un produit de convolution . . . 13 1.3.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Détermination de la fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.2 Schémas fonctionnels et algèbre des blocs . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Réponse temporelle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 Pôles simples distincts réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.2 Pôles multiples réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3 Pôles complexes conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Annexe : table de transformées de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Étude des systèmes linéaires du premier ordre 23 2.1 Intérêt des systèmes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Réponses temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Réponse impulsionnelle d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Réponse Indicielle d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Réponse à une rampe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 2.2.4 Réponse à une sinusoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Réponse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Étude d’un intégrateur pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Étude du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Digression : étude du bouclage d’un premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Étude des systèmes linéaires du deuxième ordre 33 3.1 Intérêt des systèmes du deuxième ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Réponses temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1 Réponse impulsionnelle d’un second ordre . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.2 Réponse indicielle d’un second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Réponses fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Digression : eﬀet d’un bouclage sur un second ordre . . . . . . . . . . . . . 40 4 Étude des systèmes linéaires d’ordre quelconque 41 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Réponse temporelle d’un système linéaire d’ordre quelconque . . . . . . . . 41 4.3 Analyse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5 Filtrage analogique fréquentiel 45 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Filtres parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.3 Filtres réels . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ outils-mathematiques-pour-l-x27-ingenieur-pdf.pdf