Université Pierre et Marie Curie, LM115, Mime 4/5 Année 2004-2005 Devoir de rév

Université Pierre et Marie Curie, LM115, Mime 4/5 Année 2004-2005 Devoir de révision : la méthode de Newton Commentaires pour vos révisions : après avoir lu la présentation, tous les exercices peuvent être faits indépendamment (même s'il est mieux de les faire tous dans l'ordre), à une question près dans l'exercice 3. L'exercice 1 comprend trop de tracés pour être donné en examen, mais il est intéressant pour dessiner des exemples et comprendre ce qu'il se passe. Pour votre entraînement, une possibilité est de ne travailler en temps limité qu'à partir de l'exercice 2. (Éventuellement, tracez les graphes et lisez le corrigé pour avoir les commentaires.) L'exercice 2 donne la relation de récurrence qui dé nit la suite de Newton. L'exercice 4 est le plus important, et sans doute aussi le plus délicat. L'exercice 5 n'est pas très di cile mais il peut être un peu long ; il est très intéressant pour voir l'e cacité de la théorie sur un exemple. Présentation : On s'intéresse à la méthode de Newton pour construire à l'aide d'une suite des approximations d'un zéro α d'une fonction su samment dérivable f : I →R. Le principe de la méthode est le suivant. On choisit un élément x0 ∈I, si possible assez proche de α. C'est le premier terme de la suite, placé sur l'axe des abscisses en (x0, 0). On considère le point correspondant (x0, f(x0)) sur la courbe représentative Cf de f. Le point d'intersection de la tangente à Cf en ce point avec l'axe des abscisses est noté (x1, 0). En considérant la tangente à Cf au point (x1, f(x1)) on construit x2, puis x3,... Exercice 1 Dessiner la suite de Newton. On considère les six fonctions ci-dessous, ayant toutes α = √ 2 pour zéro : f : x 7→x2 −2 i: x 7→(x − √ 2)4 + 1 2(x − √ 2) g: x 7→x2 − √ 3x + ( √ 6 −2) j : x 7→1 8(e4(x− √ 2) −1) h: x 7→x2 −2x + (2 √ 2 −2) k: x 7→1 2(x − √ 2) et les suites de Newton associées (xf n), (xg n), . . . , (xk n) en partant de x0 = 1 à chaque fois. (1) Donnez un tableau des valeurs en x = √ 2 des dérivées premières et secondes des six fonctions. (2) Tracez sur un même graphe les courbes représentatives Cf et Cg et les quatre premiers termes des suites associées (i.e. x0 à x3). Faites le tracé avec x ∈[0, 9; 2, 1] et y ∈[−1, 2; 1, 2], et prenez pour échelle : 1 unité = 20 cm sur l'axe des abscisses et 1 unité = 5 cm sur l'axe des ordonnées (1). Que se passe-t-il pour la fonction h ? (Calculez h′(1).) (3) Tracez sur un même graphe les courbes représentatives Ci et Cj et les termes x0 à x3 associés. Faites le tracé avec x ∈[0, 9; 2, 1] et y ∈[−0, 2; 0, 7], et prenez pour échelle : 0,1 unité = 1,5 cm sur l'axe des abscisses et 0,1 unité = 3 cm sur l'axe des ordonnées. (Vous ne pourrez pas placer le point (xj 1, j(xj 1)) sur le graphe. On donne la valeur xj 2 ≈1, 83 pour tracer les suivants.) Que se passe-t-il pour la fonction k ? (4) Classez les fonctions f et g selon la vitesse de convergence apparente de la suite de Newton. Comment pouvez-vous expliquer ce classement ? (5) Classez les fonctions i, j et k selon la vitesse de convergence apparente de la suite de Newton. Comment pouvez-vous expliquer ce classement ? (6) Expliquez pourquoi les fonctions g, h, i, j, k ne sont pas très adaptées au problème si on veut calculer des approximations de √ 2. 1Si vous n'en avez pas, du papier millimétré est disponible sur http://www.math.jussieu.fr/∼romagny. Exercice 2 La relation de récurrence xn+1 = ϕ(xn). Soit f : R →R une fonction de classe C 2 sur R. On suppose que f′ ne s'annule pas. On appelle (xn)n∈N la suite de Newton dé nie par f à partir d'un élément x0 ∈R xé. (1) Donnez l'équation cartésienne de la droite Dn, tangente au graphe de f au point (xn, f(xn)). (2) Justi ez que Dn coupe l'axe des abscisses, et donnez l'expression de xn+1. Exercice 3 Un exemple. On étudie plus précisément la suite obtenue en partant de f(x) = x2 −2 et x0 = 1. (1) Donnez l'expression xn+1 = ϕ(xn) en fonction de xn, telle que donnée dans l'exercice 2 question (2). Justi ez que la suite (xn) est bien dé nie i.e. que xn ̸= 0 pour tout n. (2) Montrez par récurrence que xn ≥1 puis que |xn+1 − √ 2| ≤1 2|xn − √ 2|2. (3) Déduisez-en que |xn − √ 2| ≤ 1 22n . (4) Combien de décimales exactes de √ 2 obtient-on avec x5 ? Avec x10 ? Exercice 4 Étude théorique. Soit f : I →R une fonction de classe C 2 sur un intervalle I. On suppose qu'elle a un zéro α ∈I tel que f′(α) ̸= 0. On fait maintenant une étude théorique plus poussée de la suite dé nie par la méthode de Newton (voir exercice 2) : xn+1 = xn −f(xn) f′(xn) Le choix de x0 sera fait ultérieurement. (1) Démontrez qu'il existe un segment J = [a, b] contenant α et tel que f′ ne s'annule pas sur J. Un segment J comme ci-dessus étant choisi, on introduit les quantités i := inf x∈J |f′| et s := sup x∈J |f′′| (on a vu dans l'exercice 1, questions (4) et (5), que la méthode marchera d'autant mieux que f′ est grande et f′′ petite, c'est-à-dire que i est grand et s petit). (2) Justi ez que i et s sont bien dé nis et que i > 0. (3) Écrivez la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre n pour une fonction g de classe C n+1 sur [u, v] (c'est la dérivée (n + 1)-ème de g qui intervient dans le reste intégral). Pour la suite du problème on introduit la demi-longueur de J que l'on note r, et la quantité c = c(J) déf = sr 2i On suppose avoir trouvé un intervalle J = [a, b] véri ant de plus c < 1. On choisit pour x0 celle des deux extrémités de J qui est la plus proche de α. (4) On suppose que xn ∈J. Justi ez qu'alors xn+1 est bien dé ni. En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre n = 1 pour f avec u = xn et v = α, montrez que |f(xn)−f′(xn)(xn−α)| ≤s 2|xn−α|2. En utilisant le fait que i ≤|f′(xn)|, déduisez-en que |xn+1 −α| ≤c r|xn −α|2 (5) Déduisez-en par récurrence que pour tout n ≥0 on a |xn −α| ≤|x0−α| c c2n puis que xn ∈J. (6) Établissez l'inégalité un peu moins ne : |xn −α| ≤ r c  c2n (⋆) et concluez quant à la convergence de la suite (xn). (7) Donnez l'application au cas particulier de f(x) = x2 −2 et x0 = 1. Pour cela choisissez J = [1; 2] ; a-t-on c < 1 ? Améliore-t-on le résultat de l'exercice 3, question (3) ? Pratique : Pour appliquer la méthode, on cherche un intervalle J assez petit, contenant α, et on véri e que c < 1. On choisit ensuite pour x0 l'extrémité de J la plus proche de α. On peut alors utiliser la majoration (⋆) pour les approximations de α par la suite de Newton de premier terme x0. Important : On retiendra que la méthode fonctionne d'autant mieux que |f ′(α)| est grand. Exercice 5 Mise en application de la théorie. On souhaite donner des approximations des solutions de l'équation −ln(x) = x. Montrez qu'il n'y a qu'une solution x0 ∈R∗ + puis mettez en pratique la méthode de Newton pour obtenir, à l'aide d'une calculatrice, une approximation de x0 avec 10 décimales. Exercice 6 Remarques et compléments sur la méthode de Newton. Soit f : I →R une fonction de classe C 2 et α un zéro de f. (1) Dans le cas où f′(α) = 0 et f′′(α) ̸= 0, supposant f de classe aussi grande que l'on veut, comment feriez-vous pour obtenir des approximations de α par la méthode de Newton ? (2) Montrez que si f est un polynôme à coe cients rationnels, la méthode de Newton permet d'obtenir des approximations rationnelles xn ∈Q. (3) Dans l'exercice 4 (après la question (3)), on a supposé avoir trouvé un intervalle J ⊂I tel que c(J) < 1. Montrer qu'en eet, on peut toujours trouver un tel intervalle : pour cela regardez les intervalles Jr := [α −r, α + r] et montrez que c(Jr) tend vers 0 lorsque r tend vers 0. La méthode de Newton : Corrigé Exercice 1 (1) Tableau : f g h i j k dér. uploads/s3/ devoir-corrige-newton-pdf.pdf

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