1 Continuité et dérivabilité des fonctions cosinus, sinus et tangente T.D. du 7

1 Continuité et dérivabilité des fonctions cosinus, sinus et tangente T.D. du 7 février 1. Des inégalités utiles (a) Dessiner le cercle unité et placer cos(x), sin(x) et tan(x) pour x ∈  0; π 2  . (b) Par des considérations géométriques, montrer que ∀x ∈  0; π 2  , 0 ≤sin(x) ≤x ≤tan(x) 2. Continuité en 0 (a) Montrer que sinus est continue en 0. (b) Montrer que ∀x ∈  0; π 2  , 1 −x2 ≤(cos(x))2 ≤1. (c) En déduire que cos est continue en 0. 3. Continuité sur R (a) Rappeler les formules pour cos(a + h) et sin(a + h). (b) En déduire que sinus est continue sur R. (c) En déduire que cosinus est continue sur R. (d) Justifier que tangente est continue sur les intervalles π 2 + kπ; π 2 + (k + 1)π  . 4. Des limites utiles (a) Montrer, sans utiliser le taux d’accroissement, que lim x→0 sin(x) x = 1. (b) Montrer, sans utiliser le taux d’accroissement, que lim x→0 cos(x) −1 x = 0. 5. Dérivabilité sur R (a) Montrer que sinus est dérivable sur R et que sin′ = cos. (b) Montrer que cosinus est dérivable sur R et que cos′ = −sin. (c) Montrer que tangente est dérivable sur les intervalles π 2 + kπ; π 2 + (k + 1)π  et que tan′ = 1 cos2 = 1 + tan2. S. Freyssinet PCSI-Lycée l’Essouriau 2017-2018 2 Continuité et dérivabilité des fonctions cosinus, sinus et tangente Corrigé 1. Des inégalités utiles (a) O M cos(x) sin(x) x N tan(x) O I M H x N (b) i. Le triangle OMI est un triangle d’aire OI × MH 2 = sin(x) 2 . ii. Le triangle ONI est un triangle rectangle d’aire OI × IN 2 = tan(x) 2 . iii. Le secteur circulaire ˙ OMI est d’aire x 2. Or, OMI ⊂˙ OMI ⊂ONI donc sin(x) 2 ≤x 2 ≤tan(x) 2 . Finalement, ∀x ∈  0; π 2  , 0 ≤sin(x) ≤x ≤tan(x) 2. Continuité en 0 (a) Par le théorème d’encadrement, lim x→0+ sin(x) = 0. La fonction sinus est impaire donc lim x→0−sin(x) = −lim x→0+ sin(x) = 0. Or, sin(0) = 0 donc la fonction sinus est continue en 0. (b) Soit x ∈  0; π 2  , (cos(x))2 = 1 −(sin(x))2. Par les inégalités de la première partie, 0 ≤ sin(x) ≤x 0 ≤ (sin(x))2 ≤x2 −x2 ≤ −(sin(x))2 ≤0 1 −x2 ≤ 1 −(sin(x))2 ≤1 1 −x2 ≤ (cos(x))2 ≤1 S. Freyssinet PCSI-Lycée l’Essouriau 2017-2018 3 (c) Par le théorème d’encadrement, lim x→0+ cos(x) = 1. La fonction cosinus est paire donc lim x→0−cos(x) = lim x→0+ cos(x) = 1. Or, cos(0) = 1 donc la fonction cosinus est continue en 0. 3. Continuité sur R (a) cos(a + h) = cos(a) cos(h) −sin(a) sin(h) sin(a + h) = sin(a) cos(h) + cos(a) sin(h) (b) lim h→0 sin(a + h) = lim h→0 cos(a) sin(h) sin(a) cos(h) = cos(a). lim h→0 sin(h) + sin(a). lim h→0 cos(h) = sin(a) Donc, la fonction sinus est continue en a. (c) Soit a ∈R. lim h→0 cos(a + h) = lim h→0 cos(a) cos(h) −sin(a) sin(h) = cos(a). lim h→0 cos(h) −sin(a). lim h→0 sin(h) = cos(a) Donc, la fonction cosinus est continue en a. (d) La fonction tangente est le quotient de deux fonctions continues avec un dénominateur qui ne s’annule pas sur les intervalles π 2 + kπ; π 2 + (k + 1)π  donc elle est continue sur ces intervalles. 4. Des limites utiles (a) On va proposer un encadrement. La fonction x 7→sin(x) x est paire. Soit x ∈  0; π 2  . sin(x) ≤x et x ≤sin(x) cos(x) sin(x) x ≤1 et cos(x) ≤sin(x) x Par encadrement, lim x→0+ sin(x) x = 1. Par parité, lim x→0− sin(x) x = 1 et donc lim x→0 sin(x) x = 1. (b) On utilise la limite précédente cos(x) −1 x = −2 sin( x 2)2 x = −sin(x 2) × sin(x 2) x 2 Par opération sur les limites, on obtient que lim x→0 cos(x) −1 x = 0. 5. Dérivabilité sur R (a) Soit a ∈R. sin(a + h) −sin(a) h = cos(a) sin(h) + sin(a) cos(h) −sin(a) h = cos(a).sin(h) h + cos(h) −1 h . sin(a) donc lim x→a sin(a + h) −sin(a) h = cos(a). La fonction sinus est donc dérivable en a et sin′(a) = cos(a). S. Freyssinet PCSI-Lycée l’Essouriau 2017-2018 4 (b) Soit a ∈R. cos(a + h) −cos(a) h = cos(a) cos(h) −sin(a) sin(h) −cos(a) h = cos(a).cos(h) −1 h −sin(h) h . sin(a) donc lim x→a cos(a + h) −cos(a) h = −sin(a). La fonction cosinus est donc dérivable en a et cos′(a) = −sin(a). (c) La fonction tangente est le quotient de deux fonctions dérivables avec un dénominateur qui ne s’annule pas sur les intervalles π 2 + kπ; π 2 + (k + 1)π  donc elle est dérivable sur ces intervalles et tan′ = sin′ . cos −sin . cos′ cos2 = cos2 + sin2 cos2 = 1 + tan2 = 1 cos2 S. Freyssinet PCSI-Lycée l’Essouriau 2017-2018 uploads/s3/ des-demonstrations-sur-les-fonctions-trigo 1 .pdf

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Administrationsin(x) fonction continue sinus cos(h)
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