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PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚14 Pour le mardi 15 mar

PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚14 Pour le mardi 15 mars 2011 Devoir Maison n˚14 À rendre pour le mardi 15 mars 2011 Optique I Diﬀraction I.A. Généralités sur la diﬀraction 1. Énoncer le principe de Huygens-Fresnel. Notons ds(M) l’amplitude de la vibration issue de l’élément de surface dΣ centrée en P, qui atteint le point M situé à une distance r = PM. Cette amplitude s’écrit : ds(M) = K s(P) dΣ e−jϕ r où ϕ représente le déphasage en M entre l’onde issue du point P et celle issue du point O′ (voir ﬁgure 1). Figure 1 – 2. Quelle est l’amplitude de l’onde diﬀractée en M par une ouverture de surface Σ ? Diﬀraction de Fraunhofer par une fente rectiligne de très longueur L suivant l’axe O′y′ et de petite largeur a suivant O′x′ Une source ponctuelle S, située sur l’axe Oz, émet une onde monochromatique de longueur d’onde λ. La source et l’écran sont rejetés à l’inﬁni par l’intermédiaire de deux lentilles minces de même distance focale f ′. 3. (a) Faire un schéma du montage. Peut-on réaliser ce montage avec une seule lentille ? Tristan Brunier Page 1/3 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚14 Pour le mardi 15 mars 2011 (b) Établir l’expression de l’amplitude diﬀractée, s(M) au point M(x, y, 0), par la fente de largeur a. Justiﬁer que la distance r = PM peut être confondue avec r0 = O′M dans ce cas. (c) Que vaut le déphasage entre l’onde résultante en M(x, y, 0) et l’onde issue du point O′ et reçue au point M ? Que se passe-t-il si la fente est déplacée parallèlement à elle-même, dans le même plan, vers le haut ou vers le bas ? (d) En déduire l’expression de l’éclairement diﬀracté en M(x, y, 0) par la fente (l’éclairement dif- fracté au centre de l’écran sera noté E0). Tracer E(x) E0 en fonction de x (prendre soin de repérer les abscisses correspondant aux minima et la valeur relative du premier maximum secondaire). Lorsque la pupille diﬀractante est circulaire de diamètre Φ, le rayon angulaire de la tache due à la diﬀraction est donné par α = 1, 22 λ Φ . (e) Qu’appelle-t-on pouvoir de résolution d’un instrument d’optique ? Qu’appelle-t-on critère de Rayleigh ? Doit-on utiliser des instruments d’optique de grand ou de petit diamètre ? I.B. Fentes d’Young et diﬀraction Un faisceau de lumière parallèle monochromatique, de longueur d’onde λ = 550 nm, provenant d’une étoile, éclaire normalement un écran opaque percé de deux fentes F1 et F2 de grande dimension L suivant Oy et de même largeur a suivant Ox. Les centres des fentes sont distants de d, avec d > a. Dans le plan focal xOy d’une lentille convergente de distance focale f ′ = 2 m et de foyer image O, un détecteur ponctuel enregistre l’éclairement aux points d’abscisses x, avec |x| ≪f ′. L’éclairement normalisé E(x) E0 enregistré par le détecteur est donné par la ﬁgure 2. Figure 2 – 4. À partir de la courbe de la ﬁgure 2, déterminer la largeur a d’une fente et la distance d qui sépare les centres des fentes. Dans la suite de cette partie, la largeur des fentes est très petite devant la distance qui les sépare : a ≪d. La lumière émise par l’étoile est, dans cette question uniquement, composée de deux sources de même éclairement E0, rigoureusement monochromatiques, de longueurs d’onde λ1 et λ2 très voisines, avec λ1 = λ2 + ∆λ et ∆λ ≪λ1 = λ0. Tristan Brunier Page 2/3 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Devoir Maison n˚14 Pour le mardi 15 mars 2011 5. (a) Déterminer l’expression de l’éclairement en un point de l’écran M(x, y) en fonction de δ = xd f ′ , E0, λ1 et λ2, puis, au premier ordre, en fonction de E0, δ, ∆λ et λ0. (b) En déduire l’expression de Emax et Emin, puis celle du contraste. (c) Calculer la plus petite valeur de l’ordre d’interférence pour lequel le contraste est nul, sachant que ∆λ = 0, 6 nm et λ0 = 589 nm. Tristan Brunier Page 3/3 Année 2010-2011 uploads/s3/ dm-14-optique-pdf.pdf