19MA2AMLR1 1/8 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2019 __________________ Série

19MA2AMLR1 1/8 BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE SESSION 2019 __________________ Série STD2A Sciences et Technologies du Design et des Arts Appliqués MATHÉMATIQUES __________________ ÉPREUVE DU 18 JUIN 2019 __________________ DURÉE DE L’ÉPREUVE : 3 heures COEFFICIENT : 2 Le sujet comporte 8 pages numérotées de 1/8 à 8/8 Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Les annexes 1 et 2 respectivement pages 7 et 8 sont à rendre avec la copie. Le candidat doit traiter les 3 exercices. L’usage de tout modèle de calculatrice avec ou sans mode examen est autorisé. Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. 19MA2AMLR1 2/8 Exercice 1 (9 points) Le mobilier national a présenté en 2017 une exposition intitulée « Sièges en Société, du Roi-Soleil à Marianne » à la galerie des Gobelins. L’objectif de cet exercice est d’étudier une modélisation mathématique du profil d’un rocking-chair présenté lors de l’exposition. On envisage pour cette modélisation de raccorder, comme représentés ci-contre, un arc d’ellipse  , un arc de cercle , et la courbe représentative  d’une fonction. On souhaite représenter cette modélisation dans l’annexe 1 à rendre avec la copie. Dans le plan muni d’un repère orthonormé O ; ı , ȷ , on considère les points : A0; 125 , B0; 25 , C100; 25 , D75; 50 et E75; 25 Partie A : l’arc de cercle  Une représentation paramétrique de l’arc  est ∶  75 25 cos ! " 25 25 sin ! ; ! ∈ &0 ; ' () 1. Préciser le centre et le rayon de l’arc de cercle  . 2. Vérifier que le point D appartient à l’arc de cercle . 3. Tracer sur l’annexe 1 à rendre avec la copie, l’arc de cercle  . 4. a. Tracer, sur l’annexe 1 à rendre avec la copie, la tangente + à cet arc de cercle  , au point D. b. Quel est le coefficient directeur de la droite + ? Expliquez votre réponse sur votre copie. Arc de cercle Arc d’ellipse Courbe représentative d’une fonction 19MA2AMLR1 3/8 Partie B : l’arc d’ellipse  On considère les points F50; 0 et F′50; 50 . Et on note . l’ellipse dont les axes sont les segments /BC0 et /FF′0. 1. Déterminer une équation cartésienne de l’ellipse . . 2. L’arc () est la demi-ellipse de . d’extrémités B et C et contenant le point F. Sur l’annexe 1 à rendre avec la copie, tracer une esquisse de l’arc (). Partie C : La courbe  La courbe  est la courbe représentative d’une fonction 1 définie sur l’intervalle /0; 750 par : 12 = −4, 444526 + 72² + 92 + : , où ;, < et = sont des réels à déterminer. On note >′ la fonction dérivée de la fonction > 1. On souhaite que la courbe  passe par le point A. Montrer alors que : = ?@A. 2. Déterminer l’expression de la fonction >′. 3. Le point D est le point de raccordement de la courbe  avec l’arc de cercle . On souhaite que les contraintes suivantes soient vérifiées au point D : • la courbe  passe par D • la droite + de la partie A est tangente à la courbe  au point D. a. Montrer que les réels a et b vérifient le système de deux équations à deux inconnues suivant :  75 a + b = 2,375 150 a + b = 10,125 b. Calculer a et b On admet dans la suite de l’exercice que : > = −0,0006 F + 31 300 ( −5,375  + 125 sur l’intervalle /0; 750 4. Sur l’annexe 1 à rendre avec la copie, compléter le tableau de valeurs de la fonction > (on arrondira les valeurs à l’unité). Puis tracer une esquisse de la courbe . 5. Le rocking chair est posé au sol et adossé à un mur. La courbe  modélise le profil de l’assise du rocking chair et le point F modélise le point de contact avec le sol. Le point le plus bas du profil de l’assise du rocking chair est-il plus proche du mur que le point de contact avec le sol ? (Dans cette question, on veillera à faire figurer sur la copie toute trace de recherche même incomplète.) 19MA2AMLR1 4/8 Exercice 2 QCM (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point. 1. On considère un triangle ABC tel que AB 6 cm, BC 7 cm et ABC N 50°. Une valeur approchée de la longueur AC est : a) 7,2 cm b) 7,6 cP c) 5,6 cm d) 11,8 cm 2. La valeur exacte de la solution de l’équation 3 log  2 0 est : a) 0,22 b) 10 S T c) 4,64 d) 10U S T 3. On souhaite réaliser un pavage à l’aide de tomettes, composées de six triangles équilatéraux de côté 5 cm. La valeur exacte de l’aire en cm² d’une tomette est : 7 75 2 V3 9 64 X 5√3 2 Z 150 4. Parmi les 4 pavages ci-dessous, le pavage obtenu par une symétrie centrale suivie de translations à partir du motif ci-contre est : a) b) c) d) 5. Dans un repère orthonormé du plan, les coordonnées des points d’intersection de l’axe des ordonnées et de l’ellipse d’équation [U\ S ] ^_( S ` 1, sont : 7 b0 ; 1 3 3 √2 c et b0 ; 1 3 √2 c 9 b0 ; 3 14 3 c et b0 ; 2 3c X b1 3 3 √2 ; 0c et b1 3 √2 ; 0c Z b3 14 3 ; 0c et b2 3 ; 0c 19MA2AMLR1 5/8 Exercice 3 (6 points) Un parfumeur souhaite un flacon original pour son nouveau parfum. Un verrier lui propose un flacon modélisé par une pyramide représentée ci-contre. On donne ci-après une représentation en perspective parallèle de cette pyramide notée SA′B′C′D′E′F′ - La pyramide SA′B′C′D′E′F′ est inscrite dans un cube ABCDEFGH d’arête 8 cm. - Le sommet S de la pyramide est le centre de la face EFGH du cube. - La base A′B′C′D′E′F′ de cette pyramide est contenue dans la face ABCD du cube. - Les points C′ et F′ sont les milieux respectifs des segments /BC0 et /AD0. - Les points A’ et B’ appartiennent au segment /AB0. - Les points D’ et E’ appartiennent au segment /CD0. - Et AA' =A' B' = CD' = E'D' 3 cm. Partie A : Etude de la pyramide On munit l’espace du repère orthonormé gA ; ı , ȷ , k i j d’origine A et d’unité 1 cm, tel que : ı 1 8 AB iiiii ; ȷ 1 8 AD iiiii et k i 1 8 AE iiiii Ainsi, dans ce repère le point G a pour coordonnées 8; 8; 8 et le point C a pour coordonnées 8; 8; 0 . 1. Donner les coordonnées de chacun des points S, Ak, Bk et Ck dans ce repère. 2. Calculer B′C′. La base de la pyramide est-elle un polygone régulier ? (Justifier) 3. Déterminer une valeur de la mesure en degré de l’angle AkSB′ l (on arrondira à l’unité). 19MA2AMLR1 6/8 Partie B : Représentation en perspective centrale Le début d’une représentation en perspective centrale du cube ABCDEFGH est donné en annexe 2 à rendre avec la copie. Dans cette représentation en perspective centrale : - Le plan ABF est frontal et ∆ est la ligne d’horizon. - Chaque point désigné par une lettre minuscule, dans la perspective centrale, représentera le point désigné par la même lettre majuscule dans la perspective parallèle. Par exemple les points ;, <, = représenteront, dans la perspective centrale, respectivement les points A, B, C. - On laissera les traits de construction apparents. 1. Sur l’annexe 2 à rendre avec la copie, compléter la représentation en perspective centrale ;<=no>pℎ du cube ABCDEFGH et placer les points ;’ et <’. 2. Le point =′ est-il le milieu du segment /<=0 ? Justifier. 3. Tracer les diagonales du quadrilatère ;<=n. Puis construire les points =’ et >′. 4. Terminer la représentation en perspective centrale r;k<k=knkok>k de la pyramide SA′B′C′D′E′F′ . On soignera le tracé et on repassera la pyramide en couleur. 19MA2AMLR1 7/8 Annexe 1 : (à rendre avec la copie) Exercice 1) Parties A, B et C Exercice 1) Partie C question 4  0 10 20 25 30 35 40 45 uploads/s3/ std2a-maths.pdf

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