MPSI DS 2 Contrôle du 8/10/2021 Calculatrices interdites 1 Questions proches du

MPSI DS 2 Contrôle du 8/10/2021 Calculatrices interdites 1 Questions proches du cours On rappelle que j = e 2iπ 3 . 1. Donner la forme algébrique de j et rappeler les valeurs de 1 j , j et 1 + j + j2. 2. Écrire sous forme  ρeiθ les nombres complexes suivants : 1 + i, 1 −i, 1 + j et 1 −j. 3. Linéariser les expressions cos3 x et sin5 x. 4. Résoudre l'équation en z ∈C : z2 + 2jz −1 = 0. Vous donnerez les solutions sous forme algébrique a + ib. 5. Déterminer les racines cubiques de −8, c'est à dire résoudre l'équa- tion Z3 = −8. On pourra mettre Z sous sa forme polaire Z = ρeiθ. 6. En déduire les solutions complexes de l'équation en z ∈C : l'équa- tion (z2 −1)3 = −8z3. 7. Soient a et b deux réels tels que z = a + b j ̸= 0. • Exprimer |z|2 en fonction de a et b. • Mettre 1 z sous la forme u + v j où u et v sont deux réels. 2 Calcul d'une somme Soit n un entier naturel. 1. Exprimer la quantité 1n+jn+j2n en fonction du reste de la division de n par 3. 2. Calculer de deux façons diérentes An = (1 + j)n, Bn = (1 + j2)n et Cn = (1 + 1)n. 3. En considérant An+Bn+Cn, déterminer X 0⩽3k⩽n  n 3k  en fonction de 2n et cos nπ 3  . 4. Déterminer de même : X 0⩽3k+1⩽n  n 3k + 1  . 3 Étude d'une fonction. On considère la fonction f dé nie par f(x) = ln(1+x) x 1. Déterminer le domaine de dé nition de f. 2. Montrer que ∀u ∈R+∗: u −u2 2 ⩽ln(1 + u) ⩽u 3. Déduire du résultat précédent la limite de f en 0+. Nous admettrons que f a la même limite en 0− 4. Montrer que ∀u ∈R+ : 0 ⩽ln(1 + u) ⩽2√u 5. Déterminer précisément la limite de f en +∞. 6. Justi er que f est dérivable et calculer f′ . 7. Faire le tableau de variation de f, en faisant éventuellement inter- venir une fonction auxiliaire bien choisie. 4 Exercice théorique Cet exercice aura un barème plus faible que les autres, ne l'abordez que si vous avez fait tout ce que vous pouvez dans les autres exercices. La notation prendra particulièrement en compte la précision de la rédaction Soit f une application dé nie sur R, on se propose de montrer qu'il existe un unique couple d'applications (g, h) tel que g est paire, h est impaire et f = g + h. 1. Montrer que la diérence de deux applications paires est paire. On admettra que ce résultat est encore vrai pour les applications impaires 2. Déterminer l'ensemble des applications dé nies sur R qui sont à la fois paire et impaire. 3. En déduire l'unicité du couple (g, h) 4. On suppose que le couple (g, h) existe, exprimer g(x) et h(x) en fonction de f(x) et f(−x). 5. En déduire l'existence du couple (g, h). 1 uploads/s3/ ds-02-enonce.pdf

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