Prépa_Vogt_IAGE Travaux dirigés Equations différentielles Exercice 1. Résoudre

Prépa_Vogt_IAGE Travaux dirigés Equations différentielles Exercice 1. Résoudre sur R les équations différentielles suivantes: (a) : x2 + 1  y′ + 2xy + 1 = 0; (b) : (2 + cos x) y′ + sin (x) y = (2 + cos x) sin x (c) : sinh (x) y′ −cosh (x) y = 1 (d) : cosh (x) y′ −sinh (x) y = sinh3 (x) ; (e) : xy′ −y = 1 Exercice 2. Résoudre dans R les équations différentielles suivantes: y” + y = 0, y” −3y′ + 2y = 0, y” + y′ −2y = ex y” + 2y′ + y = e−x, y” + 2y′ + 2y = x2, y” −4y = 3 Exercice 3. On considère l’équation différentielle (E) : y′” −6y” + 12y′ −8y = 0. (1) Vérifier que la fonction f0 : x 7→e2x est solution sur R de l’équation (E). (2) Soit f une fonction trois fois dérivable et g la fonction x 7→e−2xf (x). Démontrer que f est solution de (E) si et seulement si g est solution d’une équation du second ordre que l’on précisera. (3) Déduire les solutions sur R de (E). Exercice 4. On considère l’équation différentielle (E) : x2y” −xy′ + y = 0. (1) Soit g une fonction deux fois dérivable sur ]0; +∞[. Démontrer que la fonction x 7→ xg (x) est solution de (E) sur ]0; +∞[ si et seulement si g est solution d’une équation différentielle linéaire (F) du premier ordre que l’on précisera. (2) Résoudre sur ]0; +∞[ (F) puis (E). (3) A l’aide d’un raisonnement analogue, résoudre sur ]−∞; 0[ l’équation différentielle y′ = x+y x Exercice 5. On considère l’équation différentielle (E) : (x −1) y” −xy′ + y = 0. (1) Démontrer que si f est solution de (E) sur ]1; +∞[, alors f” est dérivable sur ]1; +∞[ et est solution sur cet intervalle de l’équation (E′) : y′ = y. (2) Démontrer que si f” est dérivable sur ]1; +∞[ et est solution de (E′), alors il existe a, b deux réels tels que: f′ (x) = f (x) + ax + b Quelle relation doit lier a et b pour que f soit solution de (E). (3) Résoudre (E) sur ]1; +∞[. Exercice 6. Dans chacun des cas répondre aux questions: (1) Déterminer les fonctions f : R →R dérivables telles que: ∀x ∈R f′ (x) + f (x) = f (0) + f (1) (2) Déterminer les fonctions f : [0, 1] →R dérivables telles que: ∀x ∈[0, 1], f′ (x)+f (x)+ ´ 1 0 f (t) dt = 0 (3) Déterminer les fonctions f : R →R dérivables telles que: ∀x ∈R, f′ (x) + f (−x) = ex (4) Déterminer les fonctions f : R →R dérivables telles que: ∀x ∈R, f′ (x) = f π 2 −x  1 2 Fonctions de deux variables Exercice 1. Déterminer puis déssiner l’ensemble de définition des fonctions suivantes: f (x, y) = ln 4 −x2 −y2 + ln x2 + y2 −1  ; g (x, y) = arcsin  x2+y2 x+y  h (x, y) = ln (2x + y −2) i (x, y) = ln(y−x) x j (x, y) = √1 −xy Exercice 2. Représenter les lignes de niveaux k de chacune des fonctions suivantes: (1) f (x, y) = 2x −y2, avec k = 0 et k = 1. (2) g (x, y) = x4+y4 8−x2y2 avec k = 2. Exercice 3. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes: f (x, y) = ex cos (y) ; g (x, y) = x2 + y2 sin (xy) , h (x, y) = p 1 + x2y2 u (x, y) = x+y x2+y2 ; v (x, y) = xy x2+y2 , w (x, y) = x3−y3 x2+y2 Exercice 4. Soit f : R2 →R une application de classe C1. (1) On définit la donction g (t) = f 2t + t2, 3t2 + t3 . Calculer g′ (t) en fonction des dérivées partielles de f. (2) On pose h (u, v) = f uv, u2 + v2 . Calculer ∂h ∂u et ∂h ∂v en fonction des dérivées partielles de f, ∂f ∂x et ∂f ∂y . Exercice 5. Déterminer toutes les fonctions f : R2 →R vérifiant: 1. ( ∂f ∂x (x, y) = xy2 ∂f ∂y (x, y) = x2y 2.. ( ∂f ∂x (x, y) = yex ∂f ∂y (x, y) = 2y 3.. ( ∂f ∂x (x, y) = x2y ∂f ∂y (x, y) = xy2 Exercice 6. On considère la fonction f : R2 →R définie par: ( f (x, y) = xy √ x2+y2 si (x, y) ̸= (0, 0) f (0, 0) = 0 (1) Montrer que pour tout (x, y) ∈R2, |xy| ≤1 2 x2 + y2 . (2) En déduire que ∀(x, y) ̸= (0, 0), |f (x, y)| ≤1 2 p x2 + y2. (3) En déduire que f est continue en (0, 0). (4) Déterminer si possible ∂f ∂x (0, 0) et ∂f ∂x (0, 0). Exercice 7. On considère la fonction f : R2 →R définie par: ( f (x, y) = xy x2+y2 si (x, y) ̸= (0, 0) f (0, 0) = 0 (1) Déterminer si possible ∂f ∂x (0, 0) et ∂f ∂x (0, 0). (2) Montrer que si f est continue en (0, 0) alors la suite u de terme général un = f 1 n, 1 n  , converge vers zéro. (3) Conclure. 3 Exercice 8. On cherche toutes les fonctions f : R2 →R vérifiant: x ∂f ∂x (x, y) + y ∂f ∂y (x, y) = 4 p x2 + y2f (x, y). On pose x = r cos θ, y = r sin θ et F (r, θ) = f (r cos θ, r sin θ). (1) Montrer que ( ∂F ∂r (r, θ) = cos θ ∂f ∂x (r cos θ, r sin θ) + sin θ ∂f ∂y (r cos θ, r sin θ) 1 r ∂F ∂θ (r, θ) = −sin θ ∂f ∂x (r cos θ, r sin θ) + cos θ ∂f ∂y (r cos θ, r sin θ) . (2) Déduire ∂f ∂x (r cos θ, r sin θ) et ∂f ∂y (r cos θ, r sin θ) en fonction ∂F ∂r (r, θ), ∂F ∂θ (r, θ), r et θ. (3) Déterminer f. Variables aléatoires Exercice 1. On lance deux dés non pipés, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et on désigne par X la variable aléatoire qui à chaque lancer associe la valeur absolue de la différence des nombres obtenus. (1) Déterminer la loi de probabilité de X. (2) Définir la fonction de répartition de X et tracer sa courbe représentative. (3) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X. Exercice 2. On considère la fonction de répartition FX : R →R d’une loi de probabilité X, définie pour tout x ∈R par: FX (x) =                        0 si x < 0 3 16 si 0 ≤x < 2 7 16 si 2 ≤x < 5 1 2 si 5 ≤x < 6 5 8 si 6 ≤x < 8 3 4 si 8 ≤x < 9 1 si x ≥9 (1) Calculer la probabilité des événements [X > 7] et [4 < X < 8] (2) Déterminer la loi de probabilité de X. (3) Calculer l’espérance mathématique et l’écart type de X. Exercice 3. Une lotérie consiste à lacher une bille dans un appareil qui comporte six portes de sortie, numérotées de 1 à 6. Soit X la variable aléatoire égale au numéro de la porte de sortie franchie par la bille. Sa loi de probabilié est donnée dans le tableau suivant: xi 1 2 3 4 5 6 P [X = xi] 1 32 5 32 5 16 5 16 5 32 1 32 La règle du jeu est la suivante: un joueur mise 100 F; il reçoit 600 F si la bille franchit les portes 1 ou 6, 200 F si elle franchit les portes 3 ou 4. Les portes 2 et 5 ne rapportent rien. Le gain du joueur est la différence entre ce qu’il reçoit à l’issue de la partie et sa mise. Soit Y la variable aléatoire représentant le gain d’un joueur dans une partie. (1) Déterminer la loi de probabilité de Y . (2) Un jeu est équitable si son espérance mathématique est nulle. Ce jeu est-il équitable? (3) Calculer l’écart type de Y 4 Exercice 4. Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité donnée dans le tableau suivant: xi 1 2 3 4 5 6 P [X = xi] 1 18 4 18 5 18 3 18 2 18 3 18 On considère les variables aléatoires Y = 3X −1 et Z = X2. (1) Déterminer la uploads/s3/ td-iage-6.pdf

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