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Universit´ e Denis Diderot MA4 Licence L2 – MASS 2005–2006 Corrig´ e du devoir

Universit´ e Denis Diderot MA4 Licence L2 – MASS 2005–2006 Corrig´ e du devoir surveill´ e no1 Exercice I Soit q: R3 →R la forme quadratique d´ eﬁnie par la formule q(x, y, z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2 . 1) D´ eterminer la forme bilin´ eaire sym´ etrique associ´ ee ` a q et sa matrice dans la base canonique. La forme polaire de q est la forme bilin´ eaire f : R3 × R3 →R d´ eﬁnie par f((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + 2xy′ + 2x′y + 3xz′ + 3x′z + 4yy′ + 8yz′ + 8y′z + 9zz′ . La matrice de q est   1 2 3 2 4 8 3 8 9   2) D´ ecomposer q en combinaison lin´ eaire de carr´ es de formes lin´ eaires lin´ eairement ind´ epen- dantes. En d´ eduire le rang et la signature de q. On applique l’algorithme de r´ eduction de Gauß : q(x, y, z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2 = (x + 2y + 3z)2 −(2y + 3z)2 + 4y2 + 16yz + 9z2 = (x + 2y + 3z)2 + 4yz = (x + 2y + 3z)2 + (y + z)2 −(y −z)2 . L’utilisation de cet algorithme justiﬁe que l’on ait bien obtenu une combinaison lin´ eaire de carr´ es de trois formes lin´ eaires lin´ eairement ind´ ependantes. On en d´ eduit que le rang de q est 3 (q est non-d´ eg´ en´ er´ ee) et que sa signature est (2, 1). 3) D´ eterminer une base B orthogonale pour q. La r´ eduction de Gauß obtenue ` a la question pr´ ec´ edente a fait apparaˆ ıtre trois formes lin´ eaires lin´ eairement ind´ ependantes ϕ1, ϕ2, et ϕ3 sur R3. Elles sont donn´ ees par les formules ϕ1(x, y, z) = x + 2y + 3z ϕ2(x, y, z) = y + z ϕ3(x, y, z) = y −z . D´ eterminons la base duale v1, v2, v3 de cette base de formes lin´ eaires. Pour cela, r´ esolvons le syst` eme lin´ eaire param´ etr´ e par trois r´ eels a, b, c :    x + 2y + 3z = a y + z = b y −z = c On obtient :    x = a −5 2b + 1 2c y = 1 2(b + c) z = 1 2(b −c) On en d´ eduit les ´ egalit´ es v1 = (1, 0, 0), v2 = 1 2(−5, 1, 1), v3 = 1 2(1, 1, −1). Le proc´ ed´ e suivi garantit que ces trois vecteurs (v1, v2, v3) forment une base B orthogonale pour q. 1 4) Quelle est la matrice de q dans la base B ? La base B est orthogonale pour q, la matrice cherch´ ee est donc diagonale et les coeﬃcients diagonaux se lisent sur les coeﬃcients des carr´ es des formes lin´ eaires (dont B est la base duale) dans la r´ eduction de Gauß obtenue. La matrice de q dans la base B est donc :   1 0 0 0 1 0 0 0 −1   5) Pour tout r´ eel λ, on note vλ = (λ, −1, 1) et Fλ l’orthogonal de vλ pour q. D´ eterminer la dimension de Fλ. D´ eterminer ` a quelle condition sur le r´ eel λ on a une d´ ecomposition en somme directe R3 = Fλ ⊕Rvλ. Pour tout r´ eel λ, le vecteur vλ est non nul, il engendre un sous-espace vectoriel de dimension 1 de R3 ; son orthogonal Fλ pour la forme quadratique non-d´ eg´ en´ er´ ee q est donc 3 −1 = 2. Comme Fλ et Rvλ sont deux sous-espaces vectoriels de R3 de dimensions respectives 2 et 1, on a R3 = Fλ ⊕Rvλ si et seulement si Fλ ∩Rvλ = {0}, c’est-` a-dire si vλ ̸∈Fλ, c’est-` a-dire si vλ n’est pas orthogonal ` a lui-mˆ eme, autrement dit q(vλ) ̸= 0. Le calcul donne q(vλ) = q(λ, −1, 1) = λ2 + 2λ −3 = (λ + 1)2 −4. On a (λ + 1)2 −4 = 0 si et seulement si λ = 1 ou λ = −3. Par cons´ equent, on a R3 = Fλ ⊕Rvλ si et seulement si λ ̸= 1 et λ ̸= −3. Exercice II Soit Q la forme quadratique sur R3 d´ eﬁnie par Q(x, y, z) = x2 −2y2 −xy + zx −2yz . 1) D´ eterminer le noyau de Q. Pour d´ eterminer le noyau de Q, ´ ecrivons la matrice M de Q dans la base canonique : M =   1 −1 2 1 2 −1 2 −2 −1 1 2 −1 0   Le noyau de Q est form´ e des solutions du syst` eme lin´ eaire d´ eﬁni par la matrice M. En appliquant la m´ ethode du Pivot de Gauß, on obtient que ce syst` eme est ´ equivalent au syst` eme suivant : 2x −y + z = 0 3y + z = 0 Il en r´ esulte que le noyau de Q est la droite vectorielle engendr´ ee par le vecteur (2, 1, −3). 2) Soit F le sous-espace vectoriel de R3 engendr´ e par (0, 0, 1) = e3. D´ eterminer une base de l’orthogonal de F pour Q. La forme polaire B de F est donn´ ee par la formule B((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ −1 2(xy′ + x′y) + 1 2(xz′ + x′z) −2yy′ −(yz′ + y′z) . L’orthogonal de e3 = (0, 0, 1) pour Q est l’ensemble des triplets (x, y, z) de r´ eels tels que B((x, y, z), (0, 0, 1)) = 0 . Le calcul montre que B((x, y, z), (0, 0, 1)) = 1 2x −y . L’orthogonal de e3 est donc le sous-espace vectoriel de R3 d´ eﬁni par l’´ equation 1 2x −y = 0, une base de cet espace vectoriel est donc form´ ee des deux vecteurs (0, 0, 1), (2, 1, 0). 2 uploads/s3/ ds1-corrige.pdf