Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1 Table des matières Partie I : Introduction ......................... 7 Combin

1 Table des matières Partie I : Introduction ......................... 7 Combinatoire ............................................. 8 1) L’ensemble étudié ......................................... 8 2) Permutation sans répétition .......................... 9 3) Permutation avec répétition.......................... 9 4) Arrangement sans répétition ........................ 9 5) Arrangement avec répétition ...................... 10 6) Combinaison sans répétition ....................... 10 7) Combinaison avec répétition ....................... 10 Définitions et axiomes ............................. 11 1) Les évènements .......................................... 11 2) Propriétés des évènements ......................... 11 3) Axiomes de Kolmogorov .............................. 12 4) Propriétés des probabilités .......................... 12 5) Probabilité conditionnelle ........................... 12 6) Notion d’indépendance ............................... 13 7) Calcul de la probabilité d’un évènement ...... 13 Probabilités de Bayes ............................... 14 2 Les schémas de tirages ............................. 15 1) Tirage exhaustif ordonné ............................ 15 2) Tirage exhaustif non ordonné...................... 15 3) Tirage bernoullien ordonné ......................... 15 4) Tirage bernoullien non ordonné .................. 15 Les variables aléatoires ............................ 16 1) Quantiles .................................................... 16 2) Le mode...................................................... 16 3) L’espérance mathématique ......................... 16 4) Moments non centrés ................................. 16 5) Moments centrés ........................................ 17 6) Moments factoriels ..................................... 17 7) Variance ..................................................... 17 8) Variance de la somme ................................. 18 9) Coefficient d’asymétrie ............................... 18 10) Coefficient d’aplatissement ....................... 19 11) Indépendance des variables ...................... 19 12) Fonction génératrice des probabilités ........ 19 13) Fonction génératrice des moments ........... 20 14) Inégalité de Bienaymé Tchebychev ............ 20 3 Partie II : Lois Discrètes .................... 21 Loi uniforme discrète ............................... 22 1) Définition.................................................... 22 2) Fonction de répartition ............................... 22 3) Espérance mathématique ........................... 22 4) Fonction génératrice ................................... 22 5) Moments factoriels ..................................... 22 6) Moments non centrés ................................. 22 7) Moments centrés ........................................ 23 8) Caractéristiques de forme ........................... 23 Loi binomiale ........................................... 24 1) Définition.................................................... 24 2) Mode .......................................................... 24 3) Calcul des probabilités successives .............. 24 4) Moments centrés ........................................ 24 5) Coefficients de Fisher .................................. 24 6) Convergence vers la loi normale .................. 25 7) Loi de Bernoulli ........................................... 25 4 Loi hypergéométrique.............................. 26 1) Définition.................................................... 26 2) Domaine de définition ................................. 26 3) Mode .......................................................... 26 4) Moments factoriels ..................................... 26 5) Moyenne .................................................... 26 6) Variance ..................................................... 26 7) Convergence vers la loi binomiale ............... 26 Loi de Poisson .......................................... 27 1) Définition.................................................... 27 2) Calcul des probabilités successives .............. 27 3) Fonction génératrice ................................... 27 4) Moment centré ........................................... 27 5) Coefficients de Fisher .................................. 28 6) Convergence vers la loi normale .................. 28 7) Convergence de la loi binomiale .................. 28 5 Partie III : Lois Continues .................. 29 Loi uniforme continue .............................. 30 1) Définition.................................................... 30 2) Fonction de répartition ............................... 30 3) Médiane et Espérance................................. 30 4) Variance ..................................................... 30 5) Fonction génératrice ................................... 30 6) Coefficients de Fisher .................................. 30 7) Loi rectangulaire ......................................... 31 Loi Gamma ............................................... 32 Fonction Gamma ............................................... 32 1) Loi Gamma ............................................ 32 2) Caractéristiques de ................................ 32 3) Loi Gamma (a,b) ..................................... 33 Loi Normale.............................................. 34 1) Loi normale réduite ..................................... 34 2) Loi de Laplace Gauss ................................... 35 6 Loi Log normale ........................................ 36 1) Définition.................................................... 36 2) Fonction de répartition ............................... 36 3) Médiane ..................................................... 36 4) Mode .......................................................... 36 5) Moment non centré .................................... 36 6) Loi Log normale généralisée ........................ 37 7) Changement de base .................................. 37 Test de Khi-deux ...................................... 38 1) Loi de Khi-deux ........................................... 38 2) Construction de l’indicateur d’écart ............. 38 Statistique Mathématique ....................... 39 1) Distribution d’échantillonnage .................... 39 2) Convergence Stochastiques et TCL............... 39 7 Partie I : Introduction 8 Combinatoire 1) L’ensemble étudié Eléments discernables : les éléments qui ne sont pas considérés comme équivalents dans une disposition. Ex : (a,b,c,d) Eléments indiscernables : les éléments qui sont considérés comme équivalents dans une disposition. Ex : (a,a,a,a) Disposition avec répétition : les éléments peuvent figurer plus d’une fois. Disposition sans répétition : les éléments ne peuvent figurer qu’une seule fois. Disposition ordonnée : il existe au moins deux dispositions constituées des mêmes éléments mais qui ne sont pas identiques. Disposition non ordonnée : si deux dispositions sont constituées des mêmes éléments, alors ces deux dispositions sont identiques. 9 2) Permutation sans répétition On a à choisir n éléments parmi n éléments discernables de Ω. La disposition est ordonnée et sans répétition. ! n pn = 3) Permutation avec répétition C’est une disposition ordonnée de n éléments ou le premier figure 1 n fois, le deuxième 2 n fois, …, le k-ième k n fois avec n n n n k = + + + ... 2 1 . ! !... ! ! 2 1 ,..., , 2 1 k n n n n n n n n P k = 4) Arrangement sans répétition On a à choisir p éléments parmi n éléments discernables de Ω. La disposition est ordonnée et sans répétition. )! ( ! p n n Ap n − = 10 5) Arrangement avec répétition On a à choisir p éléments parmi n éléments discernables de Ω. La disposition est ordonnée et avec répétition. p p n n A = 6) Combinaison sans répétition On a à choisir p éléments parmi n éléments discernables de Ω. La disposition est non ordonnée et sans répétition. )! ( ! ! ! p n p n p A C p n p n − = = 7) Combinaison avec répétition C’est une disposition non ordonnée et avec répétition de p éléments à choisir parmi n éléments de l’ensemble fondamentale. )! 1 ( ! )! 1 ( )! 1 ( ! 1 1 1 1 − − + = − = = = − − + − + − + n p n p n A p A C K n n p p n p p n p p n 11 Définitions et axiomes 1) Les évènements Evènement contraire : on note A l’évènement contraire de A, si A se réalise, A ne se réalise pas. Réunion : A∪B : A ou B ou les deux à la fois. Intersection : A∩B : A et B se réalisent à la fois. 2) Propriétés des évènements Distributivité : ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C A B A C B A C A B A C B A ∪ ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ = ∪ ∩ Autres propriétés : A A A A A A A A A B A B A A A A B A B A = Ω = Ω ∪ ∅ = ∩ = ∅ ∪ = Ω ∩ ∪ = ∩ ∅ = ∅ ∩ Ω = ∪ ∩ = ∪ 12 3) Axiomes de Kolmogorov Positivité : 0 ) ( ≥ ⇒ Ω ∈ A P A Certitude : 1 ) ( =           = Ω Ω ∈ U i A i A P P Additivité : ∅ = = I n i i A 1 , alors ∑ = = =           n i i n i i A P A P 1 1 ) ( U i A incompatibles, alors la probabilité de l’union est égale à la somme des probabilités. 4) Propriétés des probabilités ∑ = = ≤           ≤ ⇒ ⊂ − = = ∅ n i i n i i A P A P B P A P B A A P A P P 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( U 5) Probabilité conditionnelle ) ( ) ( ) / ( B P B A P B A P ∩ = 13 6) Notion d’indépendance P(A/B) = P(A) et P(B/A) = P(B) ; alors A et B sont indépendants. L’indépendance des i A implique ∏ = = =           n i i n i i A P A P 1 1 ) ( I 7) Calcul de la probabilité d’un évènement Ω = ) ( Card A Card A P 14 Probabilités de Bayes Soient n u u u ,..., , 2 1 des urnes telles que la probabilité de choisir chaque urne est respectivement n π π π ,..., , 2 1 et soient des boules unicolores de couleurs k c c c ,..., , 2 1 telles que ) (j i p est la proportion des boules de couleur j c dans l’urne i u avec n i ≤ ≤ 1 et k j ≤ ≤ 1 . ∑ = = n i i j i i j i j i p p c u P 1 ) ( ) ( ) / ( π π 15 Les schémas de tirages On dispose d’une urne contenant N boules de k couleurs différentes k N N N ,..., , 2 1 sont respectivement les nombres de boules de couleur k c c c ,..., , 2 1 dans l’urne ; N N N N k = + + + ... uploads/s3/ resume-stat-l2-proba.pdf