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Première S/En plus 1. Calculatrice et second degré : Exercice réservé 4640 On c

Première S/En plus 1. Calculatrice et second degré : Exercice réservé 4640 On considère les polynômes du second degré suivant: a. 3x2 + 2x −1 b. x2 + x + 2 c. −9x2 + 12x −4 d. −x2 −2x + 1 e. 2x2 + x + 3 f. −2x2 −x + 1 g. 5x2 −10x + 5 h. −3x2 −3 i. −16x2 −24x + 9 On souhaite classer ces polynômes en fonction de caractéris- tiques de leurs courbes représentatives. Pour cela, on utilise les deux critères suivants: L’“orientation” des courbes. Le nombre de points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses. 1. A l’aide de la calculatrice, placer les courbes dans cha- cune des cases dont elle vériﬁe la propriété: Sommet en haut Sommet en bas 0 point d’ intersection 1 points d’ intersection 2 points d’ intersection Tout polynôme du second degré admet l’écriture générale: a·x2 + b·x + c où: a est le coeﬃcient du terme du second degré; b est le coeﬃcient du terme du premier degré; c est le coeﬃcient du terme numérique. 2. Quelle donnée numérique caractérise l’“orientation” de la courbe? 3. Pour chacun des polynômes, déterminer la valeur de: ∆= b2 −4·a·c a. ∆= b. ∆= c. ∆= d. ∆= e. ∆= f. ∆= g. ∆= h. ∆= i. ∆= Quelle relation observe-t-on entre la valeur de ∆pour chacun de ces polynômes et du nombre de points d’intersection de sa courbe avec l’axe des abscisses? Exercice 4641 1. On considère le polynôme x3 + x2 −3x −3 dont la représentation est donnée ci-contre: a. L’aﬃchage de la calculatrice une racine entière de ce polynôme. En déduire une factorisation de ce polynôme de la forme: x3 + x2 −3x −3 = (x −α)(β·x2 + γ·x + δ) b. Réaliser la factorisation de ce polynôme en produit de facteurs du premier degré. 2. En suivant le raisonnement de la question précédente, réaliser la factorisation des polynômes suivants en pro- duit de facteurs du premier degré: a. 2x3 −2x2 −x + 1 b. x3 + 2x2 −2x −4 c. 2x3 + 3x2 −4x + 1 f. −x3 −4x2 −3x + 2 g. −2x3 −2x2 + 3x + 1 h. x3 + 3x2 −2 2. Calculatrice et dérivée : Exercice 4642 1. On considère la fonction f dont l’image d’un nombre x réel est déﬁnie par la relation : f(x) = 1 3x3 −2x2 + 3x −1 Voici deux captures d’écran de la représentation graphique de cette fonction sur l’écran d’une calcula- trice présentant le minimum et le maximum local de cette fonction : Dresser, sans justiﬁcation, le tableau de signe de la fonc- tion dérivée f ′ de la fonction f. 2. A l’aide de la calculatrice et sans justiﬁcation, dresser le tableau de signe associé aux dérivées des fonctions suivantes: a. g(x) = −1 3x3 + x2 + 3x + 2 b. h(x) = 1 3x3 + x2 −3x + 2 c. j(x) = 2 3x3 + x2 −4x −1 d. k(x) = −4 3x3 −2x2 + 1 Exercice 4644 Première S - En plus - http ://new.localhost On considère la suite (un ) déﬁnie sur N par la relation de récurrence suivante: u0 = 0 ; un+1 = un −2n + 11 1. a. A l’aide du logiciel de votre choix, tracer le nuage de points associé au 15 premiers termes de cette suite. b. Faire une conjecture quant à la nature de la courbe passant par ces points. 2. a. Déterminer la fonction f déﬁnie par un polynôme du second degré, vériﬁant les relations: u0 = f(0) ; u1 = f(1) ; u11 = f(11) b. Donner l’expression réduite de l’expression: f(x+1) −f(x). c. Etablir l’expression des termes de la suite (un ) en fonction de leur rang n. Exercice 4643 A l’aide de la calculatrice et sans justiﬁcation, pour chacune des fonctions ci-dessous, dresser le tableau de signe de la fonction dérivée associée: a. f(x) = x2 x2 + 1 b. g(x) = 4 x2 + 2x + 3 c. h(x) = x2 −x −2 x −3 d. j(x) = x −5 −x2 + 4x + 4 3. Autour des aires : Exercice 6575 On considère le carré ABCD représenté ci-contre de côté 1. Déterminer l’aire de la sur- face S grisée. A B C D I M Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Exercice 6753 Le fabricant de cadenas de la marque “K” désire imprimer un logo pour son entreprise. Ce logo a la forme d’une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et re- spectant les conditions C1 et C2 suivantes: Condition C1 : la letre K doit être constituée de trois lignes : une des lignes est le segment [AD] ; une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ; la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne. Condition C2 : l’aire de chacune des trois surfaces délim- itées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre 0,3 et 0,4, l’unité d’aire étant celle du carré. Ces aires sont notées r, s, t sur les ﬁgures ci- après. Un atelier de design propose le dessin représenté ci-contre. Pour mener l’étude qui suit, on se place dans le repère orthonormé (A ; − − → AB ; − − → AD). Les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales: r = s = t = 1 3 Déterminer les coordonnées des oints E et G. A B C D E G r s t Exercice 6754 On considère la fonction f déﬁnie par: f(x) = 2 −x pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1]. On admet que: f(x) > 0, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1]. On note C la courbe représen- tative de la fonction f dans un repère orthonormé, et D le do- maine plan compris d’une part entre l’axe des abscisses et la courbe C , d’autre part entre les droites d’équations x=0 et x=1. La courbe C et le do- maine D sont représentés ci- contre. D I 2 J O C Le but de cet exercice est de partager le domaine D en deux domaines de même aire, d’abord par une droite parallèle à l’axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l’axe des abscisses (partie B). Partie A Soit a un réel tel que 0⩽a⩽1. On note A1 l’aire du do- maine compris entre la courbe C , l’axe (Ox), les droites d’équations x=0 et x=a, puis A2 celle du domaine compris entre la courbe C , (Ox) et les droites d’équation x=a et x= 1. A1 et A2 sont exprimées en unités d’aire. A1 A2 a I 2 J O C Déterminer la valeur de a aﬁn que les aires A1 et A2 soient égales. Première S - En plus - http ://new.localhost Partie B Soit b un réel positif. Dans cette partie, on se propose de partager le domaine D en deux domaines de même aire par la droite d’équation y=b. On admet qu’il existe un unique réel b positif solution. Déterminer la valeur de b. 4. Adequation d’une loi de probabilité : Exercice 4146 Une étude s’intéresse aux achats faits par des internatutes par l’intermédiare d’internet. Sur 1 000 internautes ayant acheté ce matériel, on a établi la statistique suivante: Sites européens Site canadien Site indien Eﬀectif d’acheteurs 335 310 355 1. On note respectivement f1, f2 et f3 les fréquences asso- ciés aux eﬀectifs précédents. On pose: d2 = k=3 ∑ k=1 ( fk −1 3 )2 . Calculer d2 puis 1000·d2. 2. On simule 3 000 fois l’expérience consistant à tirer un nombre au hasard parmi {1 ; 2 ; 3} avec équiprobabil- ité. Pour chacune de ces simulations, on obtient une valeur de 1000·d2. Voici les résultats : Min. Premier décile Premier quartile Médiane Troisième quartile Neuvième décile Max. 0,000 5 0,076 3 0,211 1 0,488 45 0,940 1 1,5104 5,925 6 Au risque de 10 %, peut-on considérer que le choix d’un site européen, nord-américain ou asiatique se fait de manière équiprobable. Exercice 4183 On dispose d’un dé en forme de tétraèdre régulier; on souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela, on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance ce dé 160 fois en notant le nombre ni de fois où chaque face est cachée; on obtient les résultats suivants: Face i 1 2 3 4 Eﬀectif ni 34 48 46 32 On note fi la fréquence relative à la face ni et d2 obs le réel : 4 ∑ i=1 ( fi −1 4 )2 On simule ensuite 1 000 fois l’expérience consistant à tirer un chiﬀre au hasard 160 fois parmi l’ensemble {1 ; 2 ; 3 ; 4 } puis, pour chaque uploads/s3/ en-plus.pdf