Auteurs : Serge BOUTER et Floren t ARNAL serge.b outer u-b ordeaux.fr oren t.ar

Auteurs : Serge BOUTER et Floren t ARNAL serge.b outer u-b ordeaux.fr oren t.arnal u-b ordeaux.fr Group e B1 Iden ti ation par la métho de des moindres arrés L'étude d'un système s'appuie sur les lois de la ph ysique qui le dé riv en t et/ou l'observ ation de la rép onse y(t) à un signal u(t) donné. Dans e TD, l'observ ation de la rép onse v a nous p ermettre d'extraire ertaines ara téristiques et ertains paramètres du système en vue d'obtenir un mo dèle mathématique. P ar exemple, les systèmes linéaires du premier ordre que l'on souhaite dé rire mathématiquemen t dans le domaine du temps dis ret p euv en t être mo délisés par l'équation ré urren te suiv an te y(k) = a × y(k −1) + b × u(k −1) où k est un en tier naturel. Cette équation est toujours asso iée à une p ério de d'é han tillonnage Te . Dans e as, p our obtenir un mo dèle mathématique, il su t de déterminer les paramètres a et b de ette équation en utilisan t la métho de des moindres arrés (ou LS p our Least Squares algorithm). En notan t Mk (k; y(k)) et Pk (k; ay(k −1) + bu(k −1)), on souhaite minimiser l'erreur quadratique en tre le mo dèle et les mesures ε2 = n X i=1 MiP 2 i M1 P1 Mi Pi Mn Pn Sa han t que l'on p ossède un tableau de n mesures dans lequel son t sto k ées les v aleurs de la rép onse et de l'en trée, on her he don à minimiser la fon tion J dé nie par : J(a; b) = n X k=1 [y(k) −(a · y(k −1) + b · u(k −1))]2 On admet que ette fon tion J admet un minim um. P age 1/2 1. Mon trer que la re her he du minim um de J onduit à une équation de la forme  α β β λ   a b  =  χ δ  où α = n X k=1 y(k −1)2 ; β = n X k=1 u(k −1) · y(k −1) ; λ = n X k=1 u(k −1)2 χ = n X k=1 y(k) · y(k −1) ; δ = n X k=1 y(k) · u(k −1) 2. On note M la matri e dé nie par M =  α β β λ  . (a) Déterminer une ondition né essaire et su san te p our que la matri e M soit in v ersible. (b) Déterminer, sous ette ondition, l'in v erse de la matri e M . ( ) En déduire a et b en fon tion de α , β , λ, χ et δ . 3. On a pro édé à des mesures sur un système p our lequel on souhaite déterminer un mo dèle mathématique en vue d'ee tuer la syn thèse d'une loi de ommande. Le tableau i-dessous donne des relev és de la rép onse réalisés sur e système lorsque l'en trée est du t yp e é helon de Hea viside. Les mesures on t été ee tuées a v e une p ério de d'é han tillonnage Te égale à 0,05 s . k y(k) u(k) 0 0 100 1 0 100 2 20 100 3 35 100 4 47 100 5 58 100 6 64 100 7 70 100 8 73 100 9 78 100 10 81 100 11 83 100 12 84 100 13 86 100 (a) Représen ter le n uage de p oin ts asso ié à la rép onse y . Quel est l'ordre du système ? (b) Déterminer les v aleurs de a et b asso iées au mo dèle y(k) = a × y(k −1) + b × u(k −1) où k est un en tier. ( ) Déduire de ette équation aux diéren es la transformée en Z de la fon tion de transfert du système. P age 2/2 uploads/s3/ enonce-2-var.pdf

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Administrationsystème équation déterminer mesures ation
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