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Devoir libre 1 CPGE Alkhansaa ECS Yassin Staili Professeur agrégé de Mathématiq

Devoir libre 1 CPGE Alkhansaa ECS Yassin Staili Professeur agrégé de Mathématiques staili00yassin@gmail.com Exercice 1 : Khalil, Jamal et Nacer sont auditionnés par la police à la suite d’un crime commis par l’un d’entre eux. Tous les trois font chacun deux aﬃrmations. Les voici : Khalil dit : « Je suis innocent. Jamal est aussi innocent. » Jamal dit :« Khalil est innocent. C’est Nacer, le coupable. » Nacer dit : « Je suis innocent. C’est Khalil, le coupable. » Par la suite, les enquêteurs établissent avec certitude que l’un d’entre eux a fait deux aﬃrmations vraies, un autre a fait deux aﬃrmations fausses et le troisième a fait une aﬃrmation vraie et l’autre fausse. Qui est coupable ? ( Les réponses doivent être soigneusement argumentées.) Exercice 2 : On considère les ensembles suivants : A = {0, 1, 3}, B = {{0, 1}, 3}, C = {{0, 1, 3}}, D = {∅, 0, 1, 3}, E = {0, 1, {3}}, F = {{0, 1}, {3}, 3} et G = {{0}, {1}, 3}. 1) Déterminer les relation d’inclusions et d’égalité entre ces ensembles. 2) Déterminer A ∩B, F ∪G et A \ F. Exercice 3 : Soient E un ensemble non vide et A, B deux parties de E. On déﬁnit la diﬀérence symétrique ∆de A et B par : A∆B = (A \ B) ∪(B \ A). 1) Vériﬁer que A∆B = A∆B. 2) Déterminer A∆∅, A∆E, A∆A et A∆A. 3) Résoudre l’équation A∆X = ∅. Exercice 4 : Dans cet exercice on se propose de déterminer toutes les fonctions f : R →R vériﬁant : ∀x, y ∈R, f(x −f(y)) = 2 −x −y. 1) Dans cette question on suppose qu’il existe une fonction f vériﬁant la propriété ci-dessus. a) Prouver que f(0) = 1. b) En déduire que : ∀x ∈R, f(x −1) = 2 −x. c) En déduire l’expression de f(x) en fonction de x. 2) Conclure. Exercice 5 : 1) Résoudre l’équation : √2x −5 + 4 = x. 2) Résoudre l’inéquation : |x2 −3x| ≤x −2. Exercice 6 : 1) Soit n ∈N∗. Montrer que si n est le carré d’un entier, alors 3n ne peut pas être le carré d’un entier. 2) Montrer que : ∀n, m ∈Z, nm = 1 = ⇒n = ±1 et m = ±1. 3) Montrer que : {(x, y, z) ∈R3/ x = y = z} ⊂{(2a + 3b, 3a + 4b, 4a + 5b)/ a, b ∈R}. 4) Montrer que : {(x, y) ∈R2/ 2x + 3y = 4} = {(5 −3t, −2 + 2t)/ t ∈R}. 1 uploads/s3/ devoir-libre-1 1 .pdf