Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Equations – Inéquations 10è Page 1 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Techniqu

Equations – Inéquations 10è Page 1 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique ÉQUATIONS – INÉQUATIONS Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I – Équations – Inéquations du premier degré à une inconnue: 1°) Équations du premier degré à une inconnue : Exemple : résoudre dans ℝ l’équation : 0 12 3 = + x 4 12 3 0 12 3 − = ⇔ − = ⇔ = + x x x ; d’où l’ensemble des solutions est } { 4 − = S . 2°) Inéquations du premier degré à une inconnue : Exemple : résoudre dans ℝ l’inéquation : 0 12 3 ≤ + x 4 12 3 0 12 3 − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ + x x x ; D’où l’ensemble des solutions est ] ] 4 ; − ∞ − = S . II – Équations du premier degré à une inconnue: 1°) Définition: Une équation du second degré à une inconnue dans ℝ est une équation de la forme : ax2 + bx + c = 0 (a≠ 0) (a ; b et c sont des réels). Exemples : –3x2 + 4x – 1 = 0 ; x2 – x + 3 = 2x2 + 5x – 9. 2°) – Résolution par la méthode du discriminant : 1er cas : Si b≠0 et c = 0 Soit à résoudre dans ℝ l’équation 0 ) 5 2 ( 0 5 2 2 = − ⇔ = − x x x x 2 5 0 5 2 0 = ⇔ = − = ⇔ x x ou x ; l’ensemble des solutions de l’équation est       = 2 5 ; 0 S . 2ème cas : si b = 0 et c≠0. Résoudre dans ℝ les équations : impossible x x 5 3 0 5 3 2 2 − = ⇔ = + . } { 4 ; 4 ' 4 4 16 32 2 0 32 2 2 2 2 − = − = = ⇔ = ⇔ = ⇔ = − S où d x ou x x x x . 3éme cas : Cas général a≠ 0 ; b≠0 ; c ≠ 0. Posons c bx ax x f + + = 2 ) ( . – Forme canonique d’un polynôme du second degré : Soit ax2 + bx + c un polynôme du second degré (a≠ 0) ; c bx ax x f + + = 2 ) ( ⇔ ⇔       + + = a c x a b x a x f 2 ) ( ⇔         + −       + = a c a b a b x a x f 2 2 2 4 2 ) ( Equations – Inéquations 10è Page 2 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique         − −       + = 2 2 2 4 4 2 ) ( a ac b a b x a x f Posons ac b 4 2 − = ∆ alors .         ∆ −       + = 2 2 4 2 ) ( a a b x a x f . Cette dernière écriture de ) (x f est appelée forme canonique du polynôme. . ac b 4 2 − = ∆ . est appelé le discriminant de l’équation 0 2 = + + c bx ax . Conclusion : Pour résoudre une équation du second degré ) 0 ( 0 2 ≠ = + + a c bx ax d’inconnu x, je calcule le discriminant noté : ac b 4 2 − = ∆ . – Si ∆< 0, alors l’équation n’admet pas de solutions dans ℝ ; – Si ∆> 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : . a b x et a b x 2 2 2 1 ∆ + − = ∆ − − = . – Si ∆= 0, alors l’équation admet une solution unique : a b x x 2 2 1 − = = . Exemples : résolvez dans ℝ les équations suivantes : a) 3x2 – x + 1 = 0 ; b) x2 +x –1 = 0 ; c) 4x2 –12x + 9 = 0 3°) –Discriminant réduit : Si b est pair on pose ' ' 2 2 b b b b = ⇔ = ; alors on calcule le discriminant réduit ∆’=( b’)2 – ac. – Si ∆’ < 0, alors l’équation n’admet pas de solutions dans ℝ ; – Si ∆’ > 0, alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : . a b x et a b x ' ' ' ' 2 1 ∆ + − = ∆ − − = . – Si ∆’= 0, alors l’équation admet une solution unique : a b x x ' 2 1 − = = . Exemples : résolvez dans ℝ les équations suivantes : a) 5x2 – 38x + 21 = 0 ; b) x2 + 2x – 8 = 0 ; c) 9x2 + 6x –1 = 0 Equations – Inéquations 10è Page 3 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique 4°) – Recettes : Soit l’équation du second degré : ) 0 ( 0 2 ≠ = + + a c bx ax . R1) Si a + b + c = 0, alors a c x et x = = 2 1 1 ; Exemple : résoudre dans ℝ l’équation : 0 9 12 3 2 = + − x x 3 – 12 + 9 = 0 donc x1 = 1 et x2 = 3. D’où } { 3 ; 1 = S R2) Si a + c = b, alors a c x et x − = − = 2 1 1 . Exemple : résoudre dans ℝ l’équation : 0 9 8 2 = + + − x x – 1+ 9 = 8 donc x1 = –1 et x2 = 9. D’où } { 9 ; 1 − = S 4°) – Factorisation de ax2 + bx + c = 0 : - Si 2 1 x et x sont les racines de l’équation 0 2 = + + c bx ax alors on a : . ) ( ) ( 2 1 2 x x x x a c bx ax − − = + + . - Si ∆< 0 alors c bx ax + + 2 n’est pas factorisable. - Si ∆= 0 alors 2 1 2 ) ( x x a c bx ax − = + + . Exemple : factoriser 2 3 2 ) ( 2 − − = x x x f III – Équations bicarrées: Exemples : résolvez dans ℝ les équations bicarrées suivantes : x4 – 5x2 + 4 = 0 ; x4 – 9x2 + 20 = 0 ; x6 – 124x3 – 125 = 0. (indication on pose x2 = T ou x3 = U) IV – Équations irrationnelles simples: Propriété : ( )    = ≥ ⇔ = 2 2 0 b a b b a Exemple : résoudre dans ℝ l’équation 1 1 2 − = + x x . L’ensemble de validité Dv = } { 0 1≥ − ∈ x que tel IR x . [ [ ∞ + = ⇒ ≥ ⇔ ≥ − ; 1 1 0 1 v D x x . ⇔ = − ⇔ − = + ⇔ − = + 0 4 ) 1 ( 1 2 1 1 2 2 2 x x x x x x ( ) v v D x ou D x x x ∈ = ∉ = ⇔ = − 4 0 0 4 ; d’où } { 4 = S . V – Inéquations: 1°) Signe du binôme ax + b : Soit le binôme b ax x f + = ) ( • Si a = 0, alors ) (x f est du signe de b. • Si a ≠ 0, alors a b x b ax x f − = ⇔ = + ⇔ = 0 0 ) ( . Equations – Inéquations 10è Page 4 sur 4 Adama Traoré Professeur Lycée Technique Exemple : étudier le signe de 12 2 ) ( + − = x x f – 2x + 12 = 0 ⇒ x = 6. 2°) Signe d’un trinôme du second degré: Considérons le trinôme ) 0 ( ) ( 2 ≠ + + = a c bx ax x f ; ∆ le discriminant de l’équation 0 2 = + + c bx ax . 1er cas : Si ∆<0, alors le trinôme c bx ax + + 2 est du signe de a. 2ème cas : Si ∆= 0, alors le trinôme c bx ax uploads/s3/ equat-2 1 .pdf