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134 CHAPITRE 6. EXERCICES 6.9 Fluage d’une poutre en ﬂexion sur appuis simples

134 CHAPITRE 6. EXERCICES 6.9 Fluage d’une poutre en ﬂexion sur appuis simples (Sujet d’examen 2013) Aucun document autoris´ e, ni calculatrice. Dur´ ee de l’examen : une heure. Recueil de formules math´ ematiques en annexe. 6.9.1 Evaluation de connaissances Cette partie n’est pas calculatoire. Question 1.1 : Par quels ph´ enom` enes m´ ecaniques l’´ elasticit´ e lin´ eaire de mat´ eriaux peut-elle prendre ﬁn, en consid´ erant des sollicitations croissantes ? R´ eponse : L’´ elasticit´ e lin´ eaire peut prendre ﬁn avec l’hyperr´ elasticit´ e en transformations ﬁnies, la plasticit´ e, la viscoplasticit´ e ; pour une structure, avec l’instabilit´ e par ﬂambage qui rompt la relation lin´ eaire entre eﬀort et d´ eplacements, ou aussi avec la rupture. Question 1.2 : Selon la th´ eorie lin´ eaire de la m´ ecanique de la rupture, l’´ energie de d´ eformation d’un volume entourant la pointe d’une ﬁssure est-elle ` a valeur ﬁnie ? R´ eponse : Oui, car σ ∼: ε ∼r dr dθ est ` a valeur ﬁnie. Question 1.3 : Un homme grimpe le long d’une tige ´ elastique d’une longueur ind´ etermin´ ee et parfaitement verticale. La tige est solidement encrastr´ ee dans le sol. L’homme a une parfaite maˆ ıtrise de ses mouvements, si bien que la tige n’est soumise qu’` a une sollicitation de compression. L’homme grimpe. Doit-on l’arrˆ eter ? Y a-t-il un risque lorsqu’il monte ? Pour quelle raison m´ ecanique propre ` a la tige y aurait-il un risque ? R´ eponse : Il faut au moins l’avertir du risque de ﬂambage de la tige, si l’homme monte trop haut. En eﬀet la charge critique de ﬂambage d´ ecroit lorsque la longueur sollicit´ ee en compression augmente. 6.9.2 Exercice, ´ etude du ﬂuage non lin´ eaire d’une poutre B ( x = 2 L) x3 x1 RA RB - 2 P x 1 A ( x = 0) 1 C ( x = L) 1 x = - D 3 Table Figure 6.4 – Fluage d’une poutre ` a section rectangulaire, de longueur 2L, en appui simple en A et B et soumise ` a une charge ponctuelle −2Px3 en son centre C. Nous souhaitons identiﬁer une constante de ﬂuage en observant la ﬂexion d’une poutre sous l’eﬀet d’une charge ponctuelle. La hauteur de la poutre, dans le plan (x1, x3), est not´ ee h, sa largeur est not´ ee b. L’aire de la section est S = bh, son moment quadratique 6.9. FLUAGE D’UNE POUTRE 135 par rapport ` a l’axe x2 est I = b h3 12. Les deux appuis permettent, ` a l’instant initial t = 0, de poser la poutre ` a une distance D d’une table, comme indiqu´ e sur la Figure 1. Du fait du ﬂuage du mat´ eriau constitutif de la poutre, un contact entre la poutre et la table se r´ ealise ` a l’instant tf. Pour des sollicitations en traction pure dans la direction 1, la loi de ﬂuage relie le taux de d´ eformation longitudinal ˙ ε11 ` a la contrainte longitudinale σ11 par la loi de Norton ci-dessous : ˙ ε11 = s |σ11| K n o` u K et n ≥1 sont deux param/‘etres mat´ eriau, et s est le signe de σ11. Cette loi de comportement n’est pas ´ elastique, si bien que les ´ equations de comportement du formulaire relatives ` a l’´ elasticit´ e ne sont pas applicables. Dans le cadre de cet exercice, on supposera que les d´ eformations de cisaillement sont n´ egligeables (ε13 = 0). On utilisera donc une th´ eorie des poutres de Navier-Bernoulli. Les d´ eformations sont suppos´ ees inﬁnit´ esimales. QUESTIONS : Question 2.1 : Donner l’expression des r´ eactions aux appuis RA et RB en fonction de P et L le cas ´ ech´ eant. R´ eponse : Du fait de la sym´ etrie du probl` eme on a : RA = RB. Or l’´ equilibre en r´ esultante donne RA + RB −2 P = 0 donc RA = RB = P. Question 2.2 : Donner l’expression des composantes N, T et M, du torseur des eﬀorts int´ erieurs en x1 = 0 et x1 = 2L. R´ eponse : A droite, la normale ext´ erieure ` a la mati` ere est x1 donc T(2L) = RB = P, et N(2L) = 0 M(2L) = 0 (la rotation de la section droite est libre). A gauche, la normale ext´ erieure ` a la mati` ere est −x1 donc T(0) = −RA = −P, et N(0) = 0 M(0) = 0. Question 2.3 : Donner l’expression des conditions aux limites sur les d´ eplacements et la rotation des sections droites le cas ´ ech´ eant. R´ eponse : Les appuis simples donne comme conditions V (0) = 0 et V (2L) = 0 Question 2.4 : Quelle ´ equation peut-on ´ ecrire sur θ(L) ? R´ eponse : Du fait de la sym´ etrie du probl` eme, le d´ eplacement longitudinal est sym´ etrique en tout point de la section droite en x = L. On en d´ eduit que U(L) = 0 et que θ(L) = 0. Question 2.5 : D´ eterminer l’expression du champ des eﬀorts T et N sur l’intervalle [0, L]. R´ eponse : Il faut exploiter l’´ equation d’´ equilibre pour d´ eterminer les grandeurs statiques. Ces ´ equations ne d´ ependent pas de la loi de comportement. N, 1 = 0 ∀x1 ∈[0, L[ , N(0) = 0 ⇒N(x1) = 0 ∀x1 ∈[0, L[ T, 1 = 0 ∀x1 ∈[0, L[ , T(0) = −P ⇒T(x1) = −P ∀x1 ∈[0, L[ Question 2.6 : Donner l’expression du moment ﬂ´ echissant M sur l’intervalle [0, L]. R´ eponse : L’´ equilibre donne : 136 CHAPITRE 6. EXERCICES M, 1 −T = 0 ∀x1 ∈[0, L[ , M(0) = 0 ⇒M(x1) = −P x1 ∀x1 ∈[0, L[ Question 2.7 : Pour la suite de l’exercice, les d´ eformations ´ etant inﬁnit´ esimales, le d´ eplacement longitudinal U est nul en tout point. Donner le lien entre la vitesse de rotation des sections droites ˙ θ et ˙ ε11, en supposant qu’une section plane reste plane, conform´ ement ` a la th´ eorie des poutres. R´ eponse : ε11 = U,1 + θ,1 x3, U = 0 ∀t (x3 mesur´ e dans la conﬁguration initiale) En d´ erivant par rapport au temps on obtient : ˙ ε11 = ˙ θ,1 x3 Notons que s est aussi le signe de ˙ θ,1. Question 2.8 : Quelle est la forme du champ de contrainte σ11 dans la hauteur de la poutre ? On admettra que le signe du produit x3 σ11 est constant pour tout x3 dans l’intervalle [−h/2, h/2]. Retrouve-t-on une d´ ependance lin´ eaire en x3 pour n = 1 ? R´ eponse : La loi de comportement donne la relation suivante : |σ11| = K(s ˙ θ,1 x3)1/n . On en d´ eduit : σ11 = µK (| ˙ θ,1|)1/n x1/n 3 , ∀x3 ≥0 σ11 = −µK (| ˙ θ,1|)1/n (−x3)1/n, ∀x3 < 0 avec µ = s. Question 2.9 : Donner la relation de comportement global reliant le moment ﬂ´ echissant M ` a la vitesse de rotation des sections droites. Pour la suite on introduira le pseudo moment d’inertie not´ e In, tel que : In = 2 b n 1+2 n ( h 2) 1+2n n . R´ eponse : La relation suivante est issue du principe des travaux virtuels : M = b h/2 −h/2 x3 σ11 dx3. x3σ11 ´ etant une fonction impaire de x3, on obtient : M = s 2 b K (| ˙ θ,1|)1/n h/2 0 x1/n+1 3 dx3 Or : h/2 0 x1/n+1 3 dx3 = n 1+2 n ( h 2) 1+2n n . Donc : M = s In K (| ˙ θ,1|)1/n et σ11 = M In x1/n 3 . Question 2.10 : Dans le cas n = 1, donner l’expression du d´ eplacement transverse V en fonction du temps, pour tout point de l’intervalle [0, L]. R´ eponse : L’´ equilibre et la loi de comportement donnent la relation suivante : s In K (| ˙ θ,1|)1/n = −P x1, x1 ∈[0, L[ 6.9. FLUAGE D’UNE POUTRE 137 Donc s est oppos´ e au signe de P (s |P| = −P). De plus : ˙ θ,1 = s (|P| x1 In K )n, x1 ∈[0, L[ On en d´ eduit par int´ egration en tenant compte des conditions aux limites : ˙ θ = s |P| In K n 1 n + 1(xn+1 1 −Ln+1) ˙ V = s |P| In K n 1 (n + 1)(n + 2)(xn+2 1 −(n + 2)Ln+1 x1) V = s t |P| In K n 1 (n + 1)(n + 2)(xn+2 1 −(n + 2)Ln+1 x1) Pour n = 1 on a : V = s t ( |P| I K ) 1 6(x3 1 −3 L2 x1) V (L) = uploads/s3/ exercice-fluage-d-x27-une-poutre-en-flexion.pdf