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DNB 2019 Corrigé de l’épreuve de Mathématiques Exercice 1: 1) · 69 = 3 ´ 23. ·

DNB 2019 Corrigé de l’épreuve de Mathématiques Exercice 1: 1) · 69 = 3 ´ 23. · 1 150 = 50 ´ 23 = 2 ´ 5 ´ 5 ´ 23 = 2 ´ 5² ´ 23. · 4 140 = 4 ´ 1 035 = 2² ´ 5 ´ 207 = 2² ´ 5 ´ 9 ´ 23 = 2² ´ 3² ´ 5 ´ 23. 2) Le nombre de marins est un diviseur commun à 69, 1 150 et 4 140. Or d’après ce qui précède, le seul diviseur commun, autre que 1, est 23. Il y a donc 23 marins. Exercice 2: 1) Dans le triangle ADM rectangle en A, on a : tan a ADM = AM AD tan 60° = AM 2 AM = 2 ´ tan 60° » 3,46 m. 2) · ABCD = 4 ´ 2 = 8 m². · AMND » 3,46 ´ 2 = 6,92 m². La proportion de la plaque non utilisée est d’environ 8 6,92 8 - = 1,08 8 » 0,14. 3) · Les angles du triangle ADM ont pour mesure : 90°, 60° et 90 - 60 = 30°. · Les angles du triangle MPN ont pour mesure : 90°, 90 - 30 = 60° et 90 - 60 = 30°. · Puisque ABCD est un rectangle et que a AMN est droit, AMND est aussi un rectangle. Ainsi, les angles du triangle DPN ont pour mesure : 90°, 90 - 30 = 60° et 90 - 60 = 30°. Les 3 triangles ont leurs angles de même mesure, donc ils sont semblables. 4) · Calculons DM : Dans le triangle ADM rectangle en A, on a : cos a ADM = AD DM cos 60° = 2 DM DM = ° 60 cos 2 = 4 m. Le coefficient d’agrandissement de PDN à AMD est donc d’environ » 4 3,46 » 1,16. Il est bien plus petit que 1,5. Exercice 3: 1) a) Vsable = 2 3 ´ (B ´ h) = 2 3 ´ (p ´ (1,5 ¸ 2)² ´ 4,2) » 2 3 ´ 7,42 » 4,95 cm3. b) Le sable va s’écouler en 4,95 1,98 = 2,5 min; soit 2 minutes et 30 secondes. 2) a) 1 + 1 + 2 + 6 + 3 + 7 + 6 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 = 40 tests ont été réalisés. b) · L’étendue des temps est de 2 min 38 s - 2 min 22 s = 16 s. · Il y a 40 valeurs, la médiane se situe donc entre la 20ème et la 21ème des valeurs ordonnées dans l’ordre croissant. C’est donc un temps compris entre 2 min 29 s et 2 min 30 s. · La moyenne des temps en secondes est de 40 3 38 2 35 3 34 2 33 32 3 31 6 30 7 29 3 28 6 27 2 26 24 22 ´ + ´ + ´ + ´ + + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + ´ + + = 30,1 s. Donc la moyenne des temps est de 2 min 30,1 s. Les 3 conditions étant vérifiées, le sablier ne sera pas éliminé. Exercice 4: 1) On obtient la figure ci-contre avec un carré de côté 2,5 cm. 2) Le script 1 correspond au dessin B car il alterne 23 fois un carré puis un tiret. Le script 2 correspond donc au dessin A. 3) a) La probabilité que le premier élément soit un carré est de 1 2 . b) La probabilité que les 2 premiers éléments soient des carrés est de 1 2 ´ 1 2 = 1 4 . 1 2 1 2 4) Il faut insérer la boucle suivante entre les lignes 6 et 7 du script : Si « nombre aléatoire entre • et ‚ = 1 alors » « mettre la couleur du stylo à noir » sinon « mettre la couleur du stylo à rouge » Départ Arrivée Tiret Carré Tiret Carré Tiret Carré Exercice 5: 1) a) Le rectangle ƒ est l’image du rectangle „ par la translation qui transforme C en E. b) Le rectangle ƒ est l’image du rectangle • par la rotation de cenrtre F et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. c) Le rectangle ABCD est l’image du rectangle ‚ par l’homothétie de centre D. (ou bien rectangle ƒ avec le centre B, ou encore rectangle „ avec le centre C.) 2) Les dimensions du rectangle ABCD étant 3 fois plus grandes que celles d’un petit rectangle, l’aire du rectangle ABCD est 3² = 9 fois plus grande que celle d’un petit rectangle. L’aire d’un petit rectangle est donc de 1,215 ÷ 9 = 0,135 m². 3) Appelons l la largeur du rectangle ABCD. Le ratio longueur : largeur étant de 3 : 2, la longueur est de 2 3 l ´ = 1,5l. Or l ´ 1,5l = 1,215 donc 1,5l² = 1,215 l² = 1,215 1,5 l² = 0,81 l = 0,81 l = 0,9. La largeur du rectangle ABCD est de 0,9 m et sa longueur est de 1,5 ´ 0,9 = 1,35 m. Exercice 6: 1) Programme 1: 5 ´ 3 + 1 = 15 + 1 = 16. Programme 2 : (5 - 1)´(5 + 2) = 4 ´ 7 = 28. On obtient bien les nombres indiqués. 2) a) A(x) = x ´ 3 + 1 = 3x + 1. b) On cherche x tel que 3x + 1 = 0. Donc 3x = -1 x = 3 1 - On doit choisir 3 1 - pour obtenir 0 avec le programme 1. ? 3 l 2 Longueur Largeur 3) B(x) = (x - 1)(x + 2) B(x) = x² + 2x - x - 2 B(x) = x² + x - 2. 4) a) D’une part : B(x) - A(x) = x² + x - 2 - (3x + 1) = x² + x - 2 - 3x - 1 = x² - 2x - 3. D’autre part : (x + 1)(x - 3) = x² - 3x + x - 3 = x² - 2x - 3. On obtient la même expression, donc B(x) - A(x) = (x + 1)(x - 3). b) On cherche x tel que B(x) = A(x). On cherche donc x tel que B(x) - A(x) = 0. Soit x tel que (x + 1)(x - 3) = 0. Or si un produit de facteurs est nul, alors l’un au moins des facteurs est nul. Donc soit x + 1 = 0 soit x - 3 = 0 x = -1 x = 3 On doit choisir -1 ou 3 pour obtenir le même résultat avec les deux programmes. uploads/s3/ corrige-dnb-2019.pdf