Module : TOPOLOGIE Professeur : M.R. HILALI Semestre : 5 Filière : SMA 2009-201

Module : TOPOLOGIE Professeur : M.R. HILALI Semestre : 5 Filière : SMA 2009-2010 Topologie Exercice 1 Soient (an) et (bn) deux suites réelles croissantes de limite infinie. On suppose que lim n!1(an+1 an) = 0: Soit E = fan bm; (n; m) 2 N2g: a) Prouver que E est dense dans R. b) Application : montrer que la suite (cos(ln n))n est dense dans [1; 1]. Exercice 2 Soit N : R2 ! R définie par: N(x; y) = sup t2R jx + tyj 1 + t + t2 a) Vérifier que N est bien définie. b) N est-elle une norme ? Exercice 3 Soit E le R-espace vectoriel E = C([0; 1]; R) muni de la norme de la convergence uniforme. Montrer que l’application de E dans E qui à f associe ef est continue. Exercice 4 Soit E un R-espace vectoriel normé et f : E ! E vérifiant: 8(x; y) 2 E2; kf(x + y) f(x) f(y)k  M: (a) Montrer que, si M = 0 et si f est bornée sur un ouvert non vide, alors f est linéaire et continue. (b) On suppose f continue et E complet. En étudiant la suite gn(x) = 2nf(2nx), montrer que f se décompose de manière unique en somme d’une fonction linéaire et d’une fonction bornée. Exercice 5 Soit Ep = fA 2 Mn(R) j Rg(A)  pg. Ep est-il (i) ouvert, (ii) fermé, (iii) dense dans Mn(R): Exercice 6 1 2 Soit A  E où E est un espace vectoriel normé, on note u(A) = 0 A et v(A) = 0 A . (a) Montrer que u et v sont des applications de P(E) dans lui même qui respectent l’inclusion. (b) Montrer aussi que u2 = u et v2 = v: (c) En déduire que, à partir d’un ensemble A  E, en prenant successivement l’adhérence et l’intérieur (ou le contraire), on ne peut avoir au maximum que 7 ensembles distincts. Exercice 7 Soit E = C([0; 1]; R) muni de la norme infinie kk1 et (qn)n une énumération des rationnels de [0; 1]. On pose: L(f) = 1 P n=0 (1 2)nf(qn) pour f 2 E: (a) Prouver que L est une forme linéaire continue sur E. (b) Montrer que sup kfk1 jL(f)j n’est pas atteint. Exercice 8 Soit E = 11 le R espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme infinie k(un)nk1 = supfjunj ; n 2 Ng. On note F = 11 le sous-espace vectoriel de E des suites de suites (un)n vérifiant 1 P n=0 junj < 1 muni de la norme 1 k(un)nk1 = 1 P n=0 junj. (a) Si (un)n 2 E et (vn)n 2 F, prouver que P unvn est absolument convergente. (b) On définit fv : (un)n 2 E 7! P unvn 2 R(où v désigne la suite (vn)n de F). Montrer que fv appartient au dual fort E0 de E (i.e. l’ensemble des formes linéaires continues sur E). (c) Trouver ' une isométrie bijective de F sur E0 Exercice 9 Soit E = 11 le R espace vectoriel des suites réelles bornées muni de la norme infinie k(un)nk1 = supfjunj ; n 2 Ng. Déterminer si les sous-ensembles suivants sont des fermés ou non:  A = f suites croissantes g  B = f suites convergeant vers 0 g  C = f suites convergentes g  D = f suites admettant 0 pour valeur d’adhérence g  F = f suites (un)n sommables: P n0 junj < 1 g; (indication: considère la suite (vk;n = 1 (n + 1) k + 2 k + 1 )(k;n)2N2) 3  G = f suites (un)n périodiques: 9p > 0; 8n 2 N; un+p = ung (indication: considère la suite (vk;n = k P i=1 1 i2 sin 2n i )(k;n)2NN) Exercice 10 (a) Soit E un espace vectoriel normé sur R muni d’un produit scalaire. Démontrer l’égalité du parallélogramme : kx + yk2 + kx yk2 = 2 kxk2 + 2 kyk2 : (b) Soit E un espace vectoriel normé. kk vérifie l’inégalité du parallélogramme: (kx + yk2 + kx yk2  2 kxk2 + 2 kyk2). Montrer que kk vérifie l’égalité du parallélogramme puis qu’il dérive d’un produit scalaire (Théorème de Fréchet-Von Neumann-Jordan) . (c) pour tout (x; y) 2 E2, P(t) = kx + tyk2. Montrer que P(t) est un polynôme en t de degré inférieur ou égal à 2 si et seulement si kk dérive d’un produit scalaire. Exercice 11 1) Montrer qu’une forme linéaire f 2 E0 = L(E; |) ( | = R ou C ) sur un espace vectoriel normé E est continue si et seulement si H = ker f est fermé. 2) Soit E l’ensemble des suites complexes qui convergent vers 0 muni de la norme infinie kk1,  la forme linéaire définie sur E par: ((un)n) = 1 P n=0 un 2n On pose H = Ker. (a) Montrer que  est continue et calculer sa norme induite. (b) Existe-t-il (vn)n 2 E tel que k(vn)nk1  1 et j(vn)nj = 2? En déduire que la boule unité B((0)n; 1) de E n’est pas compacte. (c) Soit u = (un = 1 n + 1)n; calculer (u). Trouver la distance d(u; H) de u à H. (d) Construire y dans H tel que ku yk1  d(u; H): 3) Montrer qu’un endomorphisme u d’un espace vectoriel normé E est continue si et seulement si l’ensemble F = fx 2 Eg= ku(x)k = 1g est fermé. Exercice 12 (1) On note E = R[X] et, si P 2 E; kPk = sup jxj1 jP(x)j (a) Montrer que kk est bien une norme. (b) Soit U : P 2 E 7! P(2) 2 R: U est-elle continue ? (c) Montrer que H = fP 2 EjU(P) = 0g est dense dans E. (2) Soit E un e.v.n., f 2 E non continue. Montrer que Kerf est dense dans E. (3) Montrer l’équivalence H hyperplan ( ) H noyau d’une forme linéaire. Exercice 13 4 (1) Montrer que tout fermé F peut être obtenu comme intersection infinie d’ouverts (2) Montrer que si un sous-espace vectoriel F d’un espace vectoriel normé E est d’intérieur non vide alors E = F (3) Montrer qu’un sous-espace vectoriel F de dimension finie d’un espace vectoriel normé E est fermé. (4) Montrer que l’adhérence F d’un sous-espace vectoriel F est un sous-espace vectoriel. Exercice 14 (1) Montrer que la fonction N définie sur R2 par N(x; y) = sup 0t1 jx + tyj est une norme sur R2. (1) Déterminer et déssiner la boule unité de centre 0: Exercice 15 Montrer que:kx tk + ky zk  kx yk + ky tk + kt zk + kz xk Exercice 16 Soit E un espace vectoriel normé. Pour toutes parties A et B de E on note: A + B = fa + b; a 2 A; b 2 Bg 1) Montrer que si A et B sont compactes alors A + B est compacte 2) Montrer que si A est compacte et B est fermée alors A + B est fermée 3) Montrer que si A est un ouvert alors A+B est un ouvert(commencer par le cas où B un singleton) Exercice 17 Soit (E; hi) un espace préhilbertien sur |; a 2 E 1) Montrer que la fonction x 7! hx; ai est continue 2) Montrer que l’orthogonal de A; A? est fermé. Exercice 18 Soit E = Mn(|) l’espace vectoriel des matrices carées d’ordre n; muni de l’une des trois normes usuelles, pour A = (ai;j)1i;jn : 8 > > > > > > > < > > > > > > > : kAk1 = supfjaijj ; 1  i; j  ng kAk1 = P 1i;jn jaijj kAk2 = r P 1i;jn jaijj2 Calculer pour chacun des trois normes ci-dessus la norme subordonnée de la forme linéaire "Trace" 5 Exercice 19 Soit f un automorphisme de E. Montrer que : jjjfjjj f 1  1: Exercice 20 (F) Soit E = Mn(R) l’espace des matrices carrées d’ordre n; muni d’une norme quelconque. 1) Montrer que le sous-espace GLn(R) des matrices inversibles est un ouvert de E: 2) Montrer que le sous-espace O(n) des matrices orthogonales est un compact. Exercice 21 Soit E un espace de Banach (c’est-à-dire un evn complet) muni d’une norme jj jjE . Soit G un sous-espace vectoriel fermé de E. Soit R la relation d’équivalence suivante : xRy ( ) x y 2 G: L’ensemble vectoriel quotient est noté F = E=G, et la classe de x est notée x. On définit une norme jj jjF sur F de la manière suivante : jjxjjF = inf y2Gjjx yjjE: 1) Vérifier que jj jjF est bien une norme sur F: 2) Montrer que (F; jj jjF ) est un Banach Exercice 22 Soient E un espace vectoriel normé, F un fermé uploads/s3/ exercices-corrige-topologie-pdf.pdf

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