Master d’Astrophysique EC4 - Hydrodynamique et Turbulence Examen du 29 Octobre

Master d’Astrophysique EC4 - Hydrodynamique et Turbulence Examen du 29 Octobre 2014 “In examinations the foolish ask questions that the wise cannot answer”. Oscar Wilde Durée 2 heures. Tous les documents distribués en cours sont autorisés. Ce problème établi les équations de Saint-Venant, utilisées en cours pour l’exercice II, et propose deux applications. Les trois parties sont largement indépendantes. Première partie Problème 1 Equations de Saint-Venant On considère un écoulement dans un canal de largeur constante L d’un fluide incompressible (de l’eau). On négligera partout la viscosité. Le canal est horizontal, et la hauteur de l’eau est mesurée à partir du fond. On considère une “pression effective”, qui inclut les éventuel effets de turbulence et on suppose qu’une approximation hydrostatique est raisonnable. H x 0 z 1. Donner l’expression de P(x, z, t) en fonction de la hauteur de fluide H(x, t). 2. On suppose l’écoulement à deux dimensions. Le vecteur vitesse − → V s’écrit donc en fonction de ses composantes (u, w) : − → V (x, z, t) = u(x, z, t) − → e x + w(x, z, t) − → e z Ecrire les équations de conservation de la masse d’une part et de Navier-Stokes pour chacune des composantes (u, w). 1 3. On écrit l’équation de la surface libre sous la forme : F(x, z, t) = z −H(x, t) = 0 En écrivant que cette surface est advectée librement (c’est-à-dire que sa dérivée Lagrangienne est nulle), trouver l’équation d’évolution de H(x, t). 4. Ecrire l’autre condition aux limites sur u à la surface, et les conditions sur u et w au fond (en z = 0), traduisant l’absence de cisaillement horizontal d’une part, et le maintien du contact avec le sol de l’autre. 5. On défini la vitesse moyenne sur la hauteur du fluide par : U(x, t) = 1 H(x, t) ˆ H(x,t) 0 u(x, z, t) dz (a) Intégrer l’équation de conservation de la masse sur la hauteur. Note : On rappelle la relation de Leibniz pour la dérivée d’une intégrale à bornes variables : ∂ ∂x ˆ b(x) a(x) f(x, z) dz = ˆ b(x) a(x) ∂f ∂x dz + db dx f (x, b(x)) −da dx f (x, a(x)) Rappel. On doit trouver : ∂H ∂t + U ∂H ∂x = −H ∂U ∂x (b) Intégrer de même la composante u de l’équation de Navier-Stokes. On pourra utiliser l’ap- proximation ˆ H(x,t) 0 u2 dz ≃U 2 H Rappel. On doit trouver : ∂U ∂t + U ∂U ∂x = −g ∂H ∂x 2 Perturbation d’un état au repos A t = 0, on suppose que le système est dans un état stationnaire (U0, H0), constant pour tout x. On pose U = U0 + u et H = H0 + h. u et h sont du même ordre. 1. Déduire des deux équations de la partie 1.5.a et 1.5.b les équations linéarisées de u et h. 2. On cherche une solution sous la forme : h = hm exp (i (kx −ωt)) u = um exp (i (kx −ωt)) où les amplitudes um et hm sont constantes. Déduire des équations linéarisées une relation de 2 dispersion entre ω et k. On pourra poser : c0 = p H0 g 3. Donner le sens de propagation des ondes de surface en fonction du signe de ω. Discuter de la propagation de ces ondes en fonction du nombre de Froude Fr = U0 c0 du point de vue d’un observateur sur la rive du canal. 3 Cas non-linéaire - Remplissage d’un canal On reprend les équations de Saint-Venant combinées sous la forme utilisée en cours :  ∂ ∂t + λ± ∂ ∂x  J± = 0 Avec c = √g H, λ± = U ± c et J± = U ± 2 c. 1. Rappels de cours : (a) Rappeler la forme des équations des caractéristiques et l’expression de U et de c en tout point du plan (x, t) en fonction des invariants de Riemann J0 −et J0 +. (b) Si H = H0 pour tout x > 0 à t = 0, rappeler pourquoi les caractéristiques “+” et “-” sont des droites, et donner leur pente. 2. Une écluse est placée en x = 0. Pour t < 0, la hauteur est H0 pour x > 0 et U0 = 0. Un réservoir plus haut se trouve en x < 0. A t = 0, on ouvre les vannes de telle sorte que H(0, t) = H1 > H0 pour t > 0. Donc c(0, t) = c1 = √g H1 > c0. Décrire qualitativement (en deux lignes) ce qui se passe. 3. Déterminer la vitesse U1 de l’écoulement en x = 0 pour t > 0. 4. Comparer la pente des caractéristiques “+” issue de x = 0 pour des temps τ > 0 avec celle des caractéristiques “+” issues de x > 0 pour t = 0. Conclusion. 5. On suppose que le choc qui se forme a une vitesse constante V et que le profil de la vague reste un mur d’eau vertical. On se place maintenant dans le référentiel du choc. (a) Ecrire la vitesse moyenne de l’écoulement V0 en amont du choc (x grand) et la vitesse moyenne de l’écoulement V1 en aval du choc (x petit, après avoir passé le choc) dans ce référentiel. (b) Ecrire le débit de l’eau avant et après le choc. (c) En déduire la vitesse du choc V . Commenter. 6. Tracer le diagramme des caractéristiques dans le plan (x, t). 3 7. Vous avez probablement déjà observé ce phénomène dans votre évier : © Alexis Duchesne, MSC - P7. Pouvez-vous décrire qualitativement ce qui se passe à partir des résultats obtenus ci-dessus ? N.B. : on parle ici de “ressaut hydraulique”. Cet exercice n’est pas totalement indépendant d’une application astrophysique. On pourra en particu- lier se reporter à l’expérience SWASI de Thierry Foglizzo et al. au CEA/SAp (PRL, 108, 051103, 2012) qui reproduit l’essentiel des instabilités dans un choc de Supernova à partir d’un ressaut hydraulique sur un “lavabo” dont le profil est bien choisi. L’article sera sur le site avec le corrigé de l’examen. Deuxième partie Corrigé 1 Equations de Saint-Venant 1. z = 0 au fond du canal, orienté vers le haut. Hauteur d’eau H. Donc : P(x, z, t) = P0 + ρ g (H(x, t) −z) Donc : ∂P ∂x = ρ g ∂H ∂x ∂P ∂z = −ρ g 2. Masse : ∂u ∂x + ∂w ∂z = 0 Navier-Stokes : ∂u ∂t + u ∂u ∂x + w ∂u ∂z = −1 ρ ∂P ∂x = −g ∂H ∂x ∂w ∂t + u ∂w ∂x + w ∂w ∂z = −1 ρ ∂P ∂z = g 4 3. L’équation d’advection est : DF Dt = 0  ∂ ∂t + − → V · − → ∇  (z −H(x, t)) = 0 donc : ∂H ∂t + u ∂H ∂x = w 4. L’autre condition aux limites en H est : ∂u ∂z = 0 La condition aux limites au fond est, en l’absence de frottement : w = 0 ; ∂u ∂z = 0 5. Equations moyennes : (a) Soit à calculer : ˆ H(x,t) 0 ∂u ∂x dz + ˆ H(x,t) 0 ∂w ∂z dz = 0 Or (relation de Liebniz) : ∂ ∂x ˆ b(x) a(x) f(x, z) dz = ˆ b(x) a(x) ∂f ∂x dz + db dx f (x, b(x)) −da dx f (x, a(x)) donc : ˆ H(x,t) 0 ∂f ∂x dz = ∂ ∂x ˆ H(x) 0 f(x, z) dz −dH dx f (x, H(x)) et : ∂ ∂x ˆ H(x,t) 0 u dz −dH dx u (x, H(x)) + w (x, H(x)) = 0 De plus : −u (x, H(x)) ∂H ∂x = −w (x, H(x)) + ∂H ∂t Donc : ∂ ∂x (H U) + ∂H ∂t = 0 (b) On écrit Navier-Stokes sous la forme : ∂u ∂t + ∂u u ∂x + ∂w u ∂z = −g ∂H ∂x Donc : ∂ ∂t ˆ H(x,t) 0 u dz −∂H ∂t u(H) + ∂ ∂x ˆ H(x,t) 0 u2 dz −∂H ∂x u2(H) + w(H) u(H) = −g ∂H ∂x H 5 avec : −u2 (H) ∂H ∂x = −w (H) u(H) + ∂H ∂t u(H) ∂ ∂t (H U) + ∂ ∂x ˆ H(x,t) 0 u2 dz + g ∂H ∂x H = 0 Compte tenu des conditions d’écoulement et des conditions aux limites sur u, on suppose que : ˆ H(x,t) 0 u2 dz ≃U 2 H On obtient donc au final : ∂U ∂t + U ∂U ∂x = −g ∂H ∂x 2 Perturbation d’un état au repos 1. Les équations perturbées sont : ∂h ∂t + U0 ∂h ∂x = −H0 ∂u ∂x ∂u ∂t + U0 ∂u ∂x = −g ∂h ∂x 2. On obtient : −ω hm + k U0 hm = −k H0 um −ω um + k U0 um = uploads/s3/ exercices-corriges-d-x27-hydrodynamique-et-turbulences 1 .pdf

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Administrationvitesse caractéristiques h(x t) équations hauteur
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