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1 Séries entières Exercice 1. Soit ∑ Une série entière. On suppose qu’elle dive

1 Séries entières Exercice 1. Soit ∑ Une série entière. On suppose qu’elle diverge pour et qu’elle converge pour . Quel est son rayon de convergence ? Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : ∑( ) ( ) ∑ ∑( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ∑( ) ∑( ( ) ) ∑( ) ∑( ) Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : ( ) ∑( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ∑( ) ( ) ∑( ) ( ) ( ) ∑ Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4. Soit une série entière de rayon de convergence Déterminer le rayon de convergence de la série entière suivante : ∑ Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. Soit la fonction définie par : ( ) ∑ ( √ ) 1. Déterminer le rayon de convergence de cette série entière. 2. Etudier la convergence en et en . Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6. Développer les fonctions suivantes en séries entières de : 1. ( )( ) 2 2. 3. ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. Soit définie sur ] [ par ( ) ( ) √ 1. Justifier que est développable en série entière sur ] [. 2. Montrer que est solution de l’équation différentielle ( ) . 3. Déterminer le développement en série entière de sur ] [. Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. 1. Déterminer solution de l’équation différentielle ( ) 2. Reconnaitre . Allez à : Correction exercice 8 Exercice 9. Soit une série entière dont le rayon de convergence est strictement positif. On note sa somme sur ] [. 1. Trouver des conditions nécessaires et suffisantes portant sur les coefficients pour que satisfasse l’équation différentielle ( ) ( ) ( ) 2. On suppose ces conditions vérifiées. Déterminer les lorsque . 3. Quelle est la valeur de ? Quelle est la fonction obtenue ? Allez à : Correction exercice 9 Exercice 10. On considère la série complexe de somme ( ) ∑ Où les sont définis par : 1. Montrer que le rayon de convergence de cette série est supérieur ou égal à . 2. Montrer que | | ( ) 3. En déduire la valeur de, , ainsi que l’expression de en fonction de . Allez à : Correction exercice 10 Exercice 11. On définit la suite ( ) par et par la relation de récurrence ∑( ) Et on pose 3 1. Montrer que | | , en déduire que le rayon de convergence de la série entière de terme général n’est pas nul. 2. On appelle ( ) la somme de cette série, calculer ( ) en fonction de ( ). 3. En déduire ( ) Allez à : Correction exercice 11 Exercice 12. Intégration Montrer que : ∫ ( ) ∑( ) ( ) Allez à : Correction exercice 12 Corrections Correction exercice 1. La série entière diverge pour donc son rayon de converge | | √ La série entière converge pour donc son rayon de converge | | Donc Allez à : Exercice 1 Correction exercice 2.  ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) Donc Allez à : Exercice 2  √| | Donc Allez à : Exercice 2  ( ) ( ) | | | | ( ( )) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Donc Allez à : Exercice 2  ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Il est presque évident que la limite est , on va quand même faire un effort 4 ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) De même ( ) ( ) Donc | | | | ( ( )) ( ) ( ) Donc Allez à : Exercice 2  ( ) √ (( ) ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Donc Allez à : Exercice 2  ( ( ) ) , notons que ( ) √ (( ( ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) (( ) ( )) ( ) ( ) Cette expression n’a pas de limite, on voit bien qu’il va falloir séparer les pairs et les impairs ∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ∑ ( ) On pose ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cherchons les rayons de convergence de ces deux séries √ ( ) ( ) ( ( )) ( ) Le rayon de convergence de la série entière de terme général est , donc le rayon de convergence de la série entière de terme général est . √ ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Donc √ Le rayon de convergence de la série entière de terme général est , donc le rayon de convergence de la série entière de terme général est . La série entière de terme général est la somme de ces deux séries donc son rayon de convergence est ( ) Allez à : Exercice 2  ∑( ) ∑( ) ( ) On va chercher le rayon de convergence de la série ∑( ) ( ) | | | | |( ) | |( ) | La série entière de terme général a pour rayon de convergence La série ∑( ) ( ) Converge pour | | | | et diverge pour | | | | Son rayon de convergence est . Allez à : Exercice 2  ( ) | | | | |( ) | |( ) | | | √ √ Le rayon de convergence de la série entière de terme général ( ) est √ Allez à : Exercice 2 Correction exercice 3. 1. Soit ( ) ( ) ( ) | | | | |( ) ( )( ) | |( ) ( ) ( ) | ( ) Donc le rayon de convergence est Allez à : Exercice 3 6 2. Soit ( ) ( ) ( ) | | | | |( ) ( )( ) | |( ) ( ) ( ) | ( ) Donc le rayon de convergence est . Allez à : Exercice 3 3. Soit | | | | ( ) Donc le rayon de convergence est ( ) ∑ Allez à : Exercice 3 4. Soit | | | | ( ) ( ) Donc le rayon de convergence est . Ou √| | Allez à : Exercice 3 5. Soit | | | | ( ) ( ) (( ) )( ) Donc le rayon de convergence est . Allez à : Exercice 3 6. Soit ( ) | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Donc le rayon de convergence est . Allez à : Exercice 3 7. ( ) ∑( ) ∑( ) ∑( ) Avec Soit ( ) 7 | | [ | |( ) | |( ) | Donc le rayon de convergence de la série entière de terme général ( ) est Et le rayon de convergence de la série entière ( ) est , donc . Allez à : Exercice 3 8. Soit ( ) ( ) | | [ | |( ( )) (( ) ) | |( ) ( ) | ( ( )) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) Donc Allez à : Exercice 3 9. Soit | | | | ( ) ( ) Donc le rayon de convergence est . Allez à : Exercice 3 Correction exercice 4. ∑ ∑ Cette série entière converge pour | | et diverge pour | | , autrement dit cette série converge pour | | et diverge pour | | donc le rayon de convergence est √ . Allez à : Exercice 4 Correction exercice 5. 1. Si | | | ( √ ) | Et la série de terme général converge. Si | | | ( √ ) | √ | | √ | | Le terme général de la série ne tend pas vers donc la uploads/s3/ exercices-corriges-series-entieres.pdf