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1. FILTRE PASSIF 1.1. Filtre passif pédagogique 4.1.1. Filtre passe bas 4.1.1.1

1. FILTRE PASSIF 1.1. Filtre passif pédagogique 4.1.1. Filtre passe bas 4.1.1.1. Constitution 4.1.1.2. Fonction de transfert Vs Ve = 1 1+ jRCω Vs Ve = 1 1+ j ω L R 4.1.1.3. Forme générale Vs Ve = A 1+ j ω ω0 ❑ Par identification on trouve : A=1 et ω0= 1 RC ouω0= R L 4.1.1.4. Représentation Module | Vs Ve|= 1 √ 1+( ω ω0) 2 Argument : φ=tan −1| Vs Ve|=tan −1 (0)−tan −1( ω ω0)=−tan −1( ω ω0) 4.1.1.5. Le module En décibel :| Vs Ve|=20 log ( 1 √ 1+( ω ω0) 2) =-20. 1 2 log[1+( ω ω0) 2 ]=-10log[1+( ω ω0) 2 ] Limite en 0 : lim ω→0| Vs Ve|db 1 =0 on a une asymptote horizontale à − 0db Limite à l’infini : lim ω→∞| Vs Ve|db 1 =−∞:| Vs Ve|db ≈w→∞=-10log( ω ω0) 2 Si on parcourt une décade : de ω à 10ω : ω ω0 =−20 log( ω ω0) 10ω ω0 =−20log( 10ω ω0 ) ω ω0 =−20log( ω ω0)−20log 10= ω ω0 =−20log( ω ω0)−20 Le passage d’une décade à l’autre retire 20db à l’asymptote : nous avons une asymptote à − 20db / décade Remarque : - si on multiplie par 2 la fréquence, la pente est la même mais s’exprime par − 6db / octave = −20db / décade . - La droite asymptotique passe par 0db pour ω ω0 =1 (mais pas la courbe réelle) Pour la courbe réelle : pour ω ω0 =1, | Vs Ve|db =−10 log(2)=−20log( 1 √2)=−3db 4.1.1.6. L’argument Limite en 0 :lim ω→0 φ¿=0: on a une asymptote horizontale en 0 Pour ω ω0 =1,φ=−π 4 Limite à l’infini : lim ω→∞φ=−π 2 :onauneasymptote horizontale en – π 2 4.1.1.7. Tracés H ( jω)db log(ω¿ arctg H ( jω)db log(ω¿ 4.1.1.8. Pulsation de coupure Dans la pratique, la coupure n’est pas aussi nette que dans les filtres idéaux. On considère que la pulsation de coupure est atteinte si l’atténuation a diminué d’un certain nombre de db par rapport au plateau. Par référence aux filtres du premier ordre, le calcul de la pulsation de coupure ω0se fait, sauf précision contraire, pour une atténuation de − 3db . |H ( j ω0)|=| Vs Ve| dbaωc =| Vs Ve| dbau plateau −3db Cela revient au calcul suivant sans les décibels : | V s 2 V e 2| db aωc =| V s 2 V e 2| db auplateau 2 Si la coupure est calculée à − 6db , la division sera par 4 au lieu de 2. On ne doit pas confondre coupure et cassure. Pour un premier ordre : | Vs Ve|ω0 = 1 1+( ωc ω0) 2=| V s 2 V e 2| plateau 2 = 1 2 : on en tire que( ωc ω0) 2 =1,c ' estadirqueω0=ωc Dans un premier ordre, pulsations de coupure (ωc) et cassure(ω0) sont confondues. Pour les filtres d’ordre supérieur, (ωc) < (ω0). 4.1.2. Filtre passe bas du deuxième ordre RLC 4.1.2.1. Constitution 4.1.2.2. Fonction de transfert Vs Ve = 1 jCω R+ jLω+ 1 jCω = 1 1+ jRCω−LC ω 2 4.1.2.3. Forme générale Vs Ve = A 1+2mj ω ω0 +( j ω ω0)² ❑ Par identification on obtient : A=1 ,ω0= 1 √LC , m=R 2 √ C L m: coefficient d’amortissement etω0 est la pulsation propre. On remarque que L et C règle ω0 et que si R est variable de 0 à l’infini ω0et m sont pratiquement indépendants. 4.1.2.4. Étude du polynôme du dénominateur 4.1.2.4.1. Factorisation −( ω ω0)²+2mj ω ω0 +1estun polynômedusecond degré en j ω ω0 que l’on peut chercher à factoriser sous la forme (1+ j ω ω1)(1+ j ω ω2) , avec ω1 et ω2 réels. Par identification , on montre que : ω1,2= ω0(m±√m ²−1)si m ≥1 si m ≥1:ω0=√ω2ω1 est la moyenne géométrique de ω1 et ω2 . Sur une échelle logarithmique, ω1 et ω2 seront placés de part et autre de ω0et de façon symétrique 4.1.2.4.2. Intérêt de la factorisation si m ≥1: Vs Ve = 1 1+ ω ω1 ∙ 1 1+ ω ω2 Soit en décibel : | Vs Ve|db =20log(√ 1+( ω ω1)²)−20log(√ 1+( ω ω2)²) Pour le module en db on peut additionner deux courbes du premier ordre dont on peut donner les diagrammes asymptotiques. Pour l’argument on a : φ=tan −1( Vs Ve)=-tan −1( ω ω1)−tan −1( ω ω2) 4.1.2.4.3. Surtension Si m>1on ne peut pas factoriser, on ne peut travailler qu’avec un diagramme asymptotique à deux asymptotes (horizontale à − 0db et puis une droite à − 40db / décade ). On constate que, suivant les valeurs de m, on peut assister à une surtension en sortie due à des conditions de fonctionnement proches d’un phénomène de résonance. Remarque : si on prend ω=ω0, alors ( Vs Ve)ω=ω0 = 1 −( ω ω0) 2 +2mj ω ω0 +1= 1 2mj On peut constater que si m< 1 2 alorsla valeurefficace deVs>V e On aura aussi Vs et Ve en quadrature On peut alors extraire m : on remarque que pour cette pulsation ¿ Ve 2Vs . En pratique, le détection de 2 signaux en quadrature est facile, ce qui permet en un point de mesure de déterminer ω0 et m . Pour étudier le phénomène de surtension, il suffit d’analyser les variations de notre fonction de transfert et de détecter un extremum. On montre que cette surtension est possible si m ≤1 √2 ilalieu pour 2ω=ωmax=ω0√1−2m 2et ce maximumvaut| Vs Ve| ω=ωmax = 1 2m√1−m 2 m 0 1 2 1  Décomposab le non non n o n non o ui o ui   o ui 1  0  m  m2  1 0  0 2  0  m  m2  1 0  Surtension oui oui o ui non n o n n o n n o n max 0 0 1 2m 2 0 Maximum  1 2m 1 m2 1 bb Filtre passe bas du deuxième ordre par la mise en cascade de 2 premier ordre Constitution 4.1.3.2. Fonction de transfert On montre queVs Ve = 1 1+3 jRCω+¿¿ Paridentificationà A 1+2mj ω ω0 +( j ω ω0)² ontrouveω0= 1 RC et m=3 2 ❑ On peut donc le mettre sous la forme : Vs Ve = 1 1+ ω ω1 j ∙ 1 1+ ω ω2 j avec deω1=3−√5 2RC et ω2=3+√5 2RC uploads/s3/ expose-eln.pdf