Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Université Paul Sabatier TD Transferts de chaleur 2ème semestre L3 Mécanique an

Université Paul Sabatier TD Transferts de chaleur 2ème semestre L3 Mécanique année 2015-2016 Cahier de Travaux dirigés du module « Transferts thermiques », partie CONDUCTION Licence Mécanique et Applications 3ème année, parcours « mécanique » 2015-2016 Equipe pédagogique (ordre alphabétique) : Abdelkader MOJTABI, Frédéric MOULIN, Sébastien TANGUY Université Paul Sabatier TD Transferts de chaleur 2ème semestre L3 Mécanique année 2015-2016 Université Paul Sabatier TD Transferts de chaleur 2ème semestre L3 Mécanique année 2015-2016 TD n°1 : Conduction thermique monodimensionnelle en régime stationnaire Partie A : Conduction stationnaire 1D en cartésien et analogie électrique Soit un mur d’épaisseur L, de surface S, en contact sur la face x = L avec un fluide à température Tf ( le coefficient d’échange par convection est noté h). Ce mur est soumis sur la face x = 0 au rayonnement solaire et le vecteur densité de flux est noté x 0 0 e     . La conductivité thermique est notée k, et il n’ y a pas de production de chaleur dans le mur. 1°) Exprimer le problème mathématique et préciser l’écriture des deux conditions aux limites. 2°) Déterminer analytiquement la distribution de température dans le mur en fonction de 0, Tf, L, h et k. Exprimer T(0) et T(L). 3°) Rappeler les bases de l’analogie électrique : a) Quelle est la grandeur thermique analogue d’une tension, d’une courant et d’une résistance électrique. b) Que représentent en terme de conditions aux limites sur la température les deux schémas électrique suivants : Générateur de tension Générateur de courant 4°) Dessiner le schéma électrique équivalent à notre problème en précisant les résistances électriques et les températures aux nœuds. En déduire trois expressions du flux de chaleur 0 traversant le mur. 5°) Faire apparaître dans l’expression T(x) de la question 2 le groupement k hL   . Donner les unités physiques de h, k et . Discuter sur la valeur de la température T(L) lorsque 0   et    . 6°) Application numérique : L = 10 cm, h = 10, k = 5, 0 =1000 et Tf =300K. Calculer , T(0) et T(L). Partie B : Géométrie cylindrique 1°) Ecrire l’équation aux dérivées partielles régissant la propagation de la chaleur dans un tube cylindrique de longueur L et de rayons intérieur Ri et extérieur Re. Le milieu est supposé homogène, isotrope et de conductivité thermique k. Les températures Ti et Te des parois intérieure et extérieure sont imposées et le transfert de chaleur est supposé purement radial (L>>Ri et Re). a) Calculer la répartition de température à l’intérieur du tube. b) Déterminer l’expression du flux de chaleur. c) En utilisant le concept de résistance thermique et le résultat précédent, calculer l’expression du flux de chaleur traversant une structure cylindrique formée de 3 couches A, B, C de rayons R1, R2, R3, R4, ceci en fonction de l’écart total de température T1-T4. 2°) Dans le calcul précédent, il n’a pas été tenu compte des échanges par convection forcée au niveau de la surface extérieure (coefficient hi) et de la surface extérieure (coefficient he) ; le fluide étant maintenu aux températures Tfi et Tfe au loin de ces deux surfaces. Université Paul Sabatier TD Transferts de chaleur 2ème semestre L3 Mécanique année 2015-2016 a) Calculer le flux de chaleur. b) Représenter le schéma analogique électrique équivalent. 3°) Une tasse en porcelaine (k=1,00 W/m/°C) de rayon intérieur Ri=0,02 m contient du café à Tfi=80 °C. La température ambiante extérieure est Tfe=20 °C. Le coefficient de convection extérieure est he=25 W/m²/°C. On suppose une symétrie cylindrique sur la paroi latérale. a) Déterminer l’épaisseur de la paroi de la tasse pour que la température Te de la surface extérieure soit au maximum égale à 40 °C, en supposant la convection intérieure infiniment grande pour que Tfi=Tpi. b) La convection interne n’est plus infinie, on prend hi=100W/m²/°C. Ecrire le système à résoudre. Résolution numérique : calculer Re et Tpi. 4°) Epaisseur critique d’isolation On installe une couche uniforme de matériau isolant (conductivité k) sur un corps cylindrique de rayon Ri. Le rayon externe de la couche d'isolant est notée Re. La température intérieure est fixée à Ti et la surface extérieure est soumise à un environnement convectif à température Tfe et de coefficient h. a) En utilisant le réseau des résistances thermiques équivalents, évaluer l’expression du transfert de chaleur en fonction des paramètres du problème. b) Quelle est la valeur critique du rayon externe Rec pour laquelle cette expression est maximale. c) Discuter ce problème d’isolation en fonction des rayons Re, Ri et Rec. Partie C : Géométrie sphérique 1°) Soit une sphère creuse de rayons extérieur et intérieur Re et Ri, dont on fixe les températures respectives à Te et Ti. a) Déterminer la répartition de température dans la sphère. b) Calculer le flux thermique et la résistance thermique équivalente. c) En désignant par hi et he les coefficients d’échange par convection, calculer l’expression du flux thermique en fonction de Tfi et Tfe, les températures des fluides en contact avec la sphère à l’intérieur et à l’extérieur. 2°) On considère un réservoir sphérique de rayon interne Ri contenant de l’oxygène liquide à une température T0=90 K. La température de l’air ambiant est Tfe=15 K. Soient hi le coefficient de transfert par convection entre l’oxygène et la surface interne du réservoir et he le coefficient de transfert par convection entre l’air ambiant et la paroi extérieure du réservoir. La paroi du réservoir, de rayon externe Re, est constituée d’un matériau isolant dont la conductivité k varie avec la température selon la loi :  T b a 1 T f k    où a et b sont des constantes positives, supposées connues, et T est exprimée en °K. Pour l’étude du transfert de chaleur à travers la paroi annulaire isolante, on suppose que : - les surfaces interne et externe de la paroi sont isothermes et maintenues respectivement aux températures Ti et Te qui demeurent constantes dans le temps. - la conduction thermique dans la paroi est unidimensionnelle, en régime permanent, et régie par la loi :  0 dr dT r T k dr d r 1 2 2        a) Déterminer la solution du problème T(r) en tenant compte des conditions aux limites pré- citées (Ti et Te). b) En déduire l’expression de la puissance thermique totale T Q  traversant la paroi annulaire en fonction de Ti et Te ; en précisant le sens du flux thermique dans le cas où Te>Ti. c) Si l’on s’intéresse uniquement au cas asymptotique pour lequel : 1 a bT    pour T telle que Ti  T  Te, Déterminer l’expression simplifiée de T Q  en fonction de Ti et Te. En déduire la relation exprimant T Q  en fonction de T0 et Tfe. Université Paul Sabatier TD Transferts de chaleur 2ème semestre L3 Mécanique année 2015-2016 TD n° 2 : Conduction thermique avec sources internes en régime stationnaire Exercice 1 : Soit une plaque plane d’épaisseur L, de températures de surface T1 et T2, soumise sur la face chaude (T1) à un flux de rayonnement micro-ondes conduisant par absorption à une production interne de chaleur sous la forme : P(x) = Poexp(-mx) ; Po étant la valeur en surface, à x=0. a) calculer la répartition de température dans le matériau de conductivité k. b) pour quelle valeur xm de x cette température est elle maximale. c) évaluer la puissance engendrée par le rayonnement et vérifier qu’elle est égale à la somme algébrique des deux flux entrant et sortant par les faces 1 et 2. Exercice 2 : On considère un mur infini suivant les directions y et z et d’épaisseur 2L suivant x. La température T est supposée ne dépendre que de x. La conductivité thermique homogène est notée k et les deux faces échangent de la chaleur par convection (coefficient h) avec un fluide à température uniforme T0. L’origine des x est placée dans le plan médian du mur. On suppose que les sources internes de chaleur sont régies par l'expression de la puissance volumique suivante : P(x) = a[1 + (T(x) - T0)] où a et  sont des constants réelles. Cela peut représenter la puissance dégagée par une réaction dont l'efficacité augmente avec la température. a) Ecrire l’équation différentielle décrivant le problème en régime permanent ainsi que le jeu de conditions aux limites. L’une des conditions aux limites pourra prendre en compte la symétrie du problème. b) Après intégration écrire les lois de distribution des températures T(x) en fonction du signe du groupement k a  s . c) Etablir les lois de distribution des températures suivant que : - a = 0 -  =0 et a  0 - a  0. Expliquer physiquement le comportement singulier de cette dernière solution. On se place dans ce dernier cas pour les questions d) et e). d) Que se passe-t-il lorsque le coefficient d’échange h devient infini. Ecrire la uploads/s3/ fasciculetdsconductionl3s6-20152016.pdf