Probabilit´ es – L2 Informatique – S4 – 2021 R. Loubaton, I. Marcovici, W. O¸ c

Probabilit´ es – L2 Informatique – S4 – 2021 R. Loubaton, I. Marcovici, W. O¸ cafrain Feuille 3 : Variables al´ eatoires discr` etes Exercice 1 a. On lance deux d´ es ´ equilibr´ es. On note X1 le r´ esultat du premier d´ e, et X2 le r´ esultat du deuxi` eme d´ e. D´ eterminer la loi de X1 −X2. On commence par d´ eterminer les valeurs possibles pour la variable al´ eatoire X = X1 −X2. Comme X1 et X2 prennent des valeurs (ind´ ependantes) entre 1 et 6, on a X(Ω) = {−5, . . . , 5}. On regarde ensuite quelles sont les diff´ erentes mani` eres d’obtenir chaque valeur possible. On a : P(X = −5) = P((X1, X2) = (1, 6)) = 1/36 P(X = −4) = P((X1, X2) ∈{(1, 5), (2, 6)}) = 2/36 P(X = −3) = P((X1, X2) ∈{(1, 4), (2, 5), (3, 6)}) = 3/36 P(X = −2) = P((X1, X2) ∈{(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)}) = 4/36 P(X = −1) = P((X1, X2) ∈{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}) = 5/36 P(X = 0) = P((X1, X2) ∈{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}) = 6/36 et on v´ erifie facilement que P(X = i) = P(X = −i), ce qui donne les valeurs restantes. b. On lance un d´ e ´ equilibr´ e, au plus 5 fois, en s’arrˆ etant d` es qu’on obtient 6. Donner la loi du nombre de lancers effectu´ es. Ici, par hypoth` ese, on va faire entre 1 et 5 lancers. Donc si on note X le nombre de lancers, on a X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5}. On a P(X = 1) = 1/6 (cas o` u on obtient tout de suite un 6) P(X = 2) = (5/6) · (1/6) = 5/36 (obtenir autre chose qu’un 6, puis un 6) De mˆ eme, P(X = 3) = (5/6)2 · (1/6) et P(X = 4) = (5/6)3 · (1/6) Et P(X = 5) = (5/6)4, car l’´ ev´ enement X = 5 correspond en fait simplement ` a ne pas obtenir de 6 au cours des quatre premiers lancers (ou sinon, on peut aussi calculer P(X = 5) en utilisant le fait que la somme des probabilit´ es doit ˆ etre ´ egale ` a 1). Exercice 2 Un livre de 350 pages contient 450 erreurs d’impression r´ eparties au hasard. Soit X la variable al´ eatoire du nombre d’erreurs dans une page d´ etermin´ ee. a. Quelle est la loi de X ? Il faut ici imaginer qu’on r´ ep` ete 450 fois l’exp´ erience qui consiste ` a choisir au hasard une page du livre, et ` a y glisser une erreur. Si on fixe une page du livre, alors ` a chaque erreur qu’on fait, la probabilit´ e qu’elle soit sur cette page est de 1/350. Donc X suit la loi Binomiale de param` etres n = 450 et p = 1/350. b. Donner une expression de la probabilit´ e qu’il y ait au moins 3 erreurs dans une page d´ etermin´ ee. On a P(X ≥3) = 1 −P(X = 0) −P(X = 1) −P(X = 2), o` u : P(X = 0) = (1 −p)450 P(X = 1) = 450 1  p · (1 −p)449 = 450 · p · (1 −p)449 P(X = 2) = 450 2  p2 · (1 −p)448 = 450 · 449 2 p2 · (1 −p)448 Exercice 3 Montrer que si X est une v. a. de loi g´ eom´ etrique, elle v´ erifie la propri´ et´ e d’absence de m´ emoire suivante : ∀k ∈N, ∀n ∈N, P(X > n + k | X > n) = P(X > k). 1 Probabilit´ es – L2 Informatique – S4 – 2021 R. Loubaton, I. Marcovici, W. O¸ cafrain Interpr´ eter ce r´ esultat en consid´ erant une suite d’´ epreuves r´ ep´ et´ ees. On a : P(X > n + k | X > n) = P(X > n + k etX > n) P(X > n) = P(X > n + k) P(X > n) . Or, si X suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p, l’´ ev´ enement X > ℓpeut ˆ etre interpr´ et´ e comme le fait qu’apr` es avoir r´ ep´ et´ e ℓfois une exp´ erience ayant une probabilit´ e de succ` es, on n’a toujours pas observ´ e de succ` es, ce qui revient au fait que les ℓpremiers essais ont donn´ e des ´ echecs. Ainsi, pour tout entier ℓ≥1, on a : P(X > ℓ) = (1 −p)ℓ, et il en d´ ecoule que : P(X > n + k | X > n) = (1 −p)n+k (1 −p)n = (1 −p)k = P(X > k). L’interpr´ etation est la suivante : pour la loi g´ eom´ etrique, sachant qu’au bout de n essais, on n’a tou- jours pas observ´ e de succ` es, la probabilit´ e de devoir faire encore au moins k essais pour observer un succ` es est la mˆ eme que la probabilit´ e, pour quelqu’un qui n’aurait fait aucun essai ant´ erieurement, de devoir faire au moins k essais pour observer un succ` es. On parle de ph´ enom` ene d’absence de m´ emoire. C’est li´ e au fait que les r´ ep´ etitions successives sont ind´ ependantes. En gros, si vous avez perdu n fois au loto, ¸ ca ne change pas vos probabilit´ es concernant ce qui va se passer ensuite, vous n’avez ni plus ni moins de chance de gagner que si vous commenciez tout juste ` a jouer. Exercice 4 Soient X et Y deux v. a. ind´ ependantes de loi uniforme sur {0, 1, 2, · · · , 9}. a. Calculer P(X = Y ). Il y a ici une erreur courante ` a ne pas faire ! La r´ eponse est 1/10, car on a : P(X = Y ) = 9 X i=0 P(X = i et Y = i) = 9 X i=0 P(X = i)P(Y = i) = 9 X i=0 (1/10)2 = 10 · (1/10)2 = 1/10. b. D´ eterminer la loi de X + Y . On commence par regarder les valeurs possibles pour X + Y . Ce sont les entiers de 0 ` a 18. Pour chaque entier i ∈{0, . . . , 18}, on d´ etermine alors P(X + Y = i). On a : P(X + Y = 0) = P((X, Y ) = (0, 0)) = 1/100 P(X + Y = 1) = P((X, Y ) ∈{(0, 1), (1, 0)}) = 2/100 P(X + Y = 2) = P((X, Y ) ∈{(0, 2), (1, 1), (2, 0)}) = 3/100, etc. Au final, on obtient la loi suivante : i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 P(X + Y = i) 1 100 2 100 3 100 4 100 5 100 6 100 7 100 8 100 9 100 10 100 9 100 8 100 7 100 6 100 5 100 4 100 3 100 2 100 1 100 On peut v´ erifier au passage que la somme des probabilit´ es vaut bien 1. Exercice 5 On lance deux d´ es. On note X le plus grand des num´ eros obtenus, et Y le plus petit. a. D´ eterminer les lois de X et de Y . Ces deux variables al´ eatoires sont-elles ind´ ependantes ? Ici, on a X(Ω) = {1, . . . , 6} et Y (Ω) = {1, . . . , 6}. Notons D1 (respectivement D2) le r´ esultat du premier (respectivement second) d´ e. Alors X = max(D1, D2), Y = min(D1, D2). 2 Probabilit´ es – L2 Informatique – S4 – 2021 R. Loubaton, I. Marcovici, W. O¸ cafrain Puisque D1 et D2 sont ind´ ependants, pour tout i, j ∈J1, 6K, P((D1, D2) = (i, j)) = 1 36. Et comme pour l’exercice pr´ ec´ edent, on regarde les diff´ erentes possibilit´ es : P(X = 1) = P[(D1, D2) = (1, 1)] = 1/36, P(X = 2) = P[(D1, D2) ∈{(1, 2), (2, 2), (2, 1)}] = 3/36, et de mˆ eme P(X = 3) = 5/36, P(X = 4) = 7/36, P(X = 5) = 9/36, P(X = 6) = 11/36. ` A nouveau, il n’est pas inutile de v´ erifier que la somme vaut bien 1. Pour la variable Y , les valeurs sont invers´ ees : P(Y = 1) = 11/36, P(Y = 2) = 9/36, P(Y = 3) = 7/36, P(Y = 4) = 5/36, P(Y = 5) = 3/36, P(Y = 6) = 1/36. Les variables X et Y ne sont clairement pas ind´ ependantes ! En effet, puisqu’on a n´ ecessairement Y ≤X, alors on a P(X = 1 etY = 6) = uploads/s3/ feuille3-corrige 1 .pdf

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