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Universit´ e F´ elix Houphouet Boigny / UFR - MI / 2021 - 2022/ L1 TC Fiche de

Universit´ e F´ elix Houphouet Boigny / UFR - MI / 2021 - 2022/ L1 TC Fiche de TD - ´ El´ ements de Logique math´ ematique Exercice 0.1 En notant P et Q les aﬃrmations suivantes : P : Jean est fort en Maths. Q : Jean est fort en Chimie. Repr´ esenter les aﬃrmations suivantes sous forme symbolique, ` a l’aide des lettres P et Q et des connecteurs usuels. 1) Jean est fort en Maths mais faible en Chimie. 2) Jean est fort en Math ou il est ` a la fois fort en chimie et faible en Maths. 3) Jean n’est fort ni en Math ni en Chimie. 4) Jean est fort en Maths s’il est fort en Chimie. Exercice 0.2 1) P, Q et R ´ etant des propositions donn´ ees, construire les tables de v´ erit´ e des formes pro- positionnelles suivantes (o` u P est la n´ egation de P) : (i) P ⇒(P ∨Q) (ii) P ⇒(Q ∨R) (iii) P ∨Q (iv) (P ∧Q) ⇒Q (v) P ∨Q ∧R. 2 2) Une tautologie est une proposition intrins` equement vraie. Par exemple, soit P est une proposition. La connection P ∨P est une tautologie. Soient P, Q, R des propositions. On consid` ere les deux propositions suivantes [(P ⇒Q) ∨(Q ⇒R)] ⇒(P ⇒R) (1) (P ⇒Q) ⇒[(P ∨R)) ⇒(Q ∨R)] (2) (a) Sans utiliser de table de v´ erit´ e, montrer que la proposition (1) est une tautologie. (b) V´ eriﬁer si la proposition (2) est une tautologie. Exercice 0.3 En notant P, Q et R les 3 aﬃrmations suivantes : P : Pierre fait des Maths Q : Pierre fait de la chimie R : Pierre fait de l’Anglais repr´ esenter les aﬃrmations qui suivent sous forme symbolique, ` a l’aide des lettres P, Q, R et des connecteurs usuels. 1) Pierre fait des Maths et de l’Anglais mais pas de Chimie. 2) Pierre fait des Maths et de la Chimie mais pas ` a la fois de la chimie et de l’Anglais. 3) Il est faux que Pierre fasse de l’Anglais sans faire de Maths. 4) Il est faux que Pierre ne fasse pas des Maths et fasse quand mˆ eme de la Chimie. 5) Il est faux que Pierre fasse de l’Anglais sans faire de Maths. 6) Pierre ne fait ni Anglais ni Chimie mais il fait des Maths. Exercice 1 1) ´ etant donn´ es deux entiers a et b, on consid` ere les duex propositions : Q : a et b sont touts les deux pairs Q : a et b sont de parit´ es diﬀ´ erentes. Que signiﬁent les implications suivantes et lesquelles sont vraies pour les valeurs de a et b ? t P ⇒Q, Q ⇒P, P ⇒Q, Q ⇒P, P ⇒Q, Q ⇒P, P ⇒Q, Q ⇒P Exercice 2 Ecrire les implications ou ´ equivalences correctes : 3 a) [∀x ∈E, p(x) et q(x)]...........[∀x ∈E, p(x)] et [∀x ∈E, q(x)] b) [∃x ∈E, p(x) et q(x)]...........[∃x ∈E, p(x)] et [∃x ∈E, q(x)] c) [∀x ∈E, p(x) ou q(x)]...........[∀x ∈E, p(x)] ou [∀x ∈E, q(x)] d) [∃x ∈E, p(x) ou q(x)]..........[∃x ∈E, p(x)] ou [∃x ∈E, q(x)]. Exercice 3 Soit (x, y) ∈R × R. Ecrire les n´ egations des propositions suivantes : 1) 1 ≤x < y 2) x y = 0 3) x2 = 1 ⇒ x = 1 4) ∀x ∈E, ∀x ′ ∈E, x ̸= x ′ ⇒f(x) ̸= f(x ′) 5) ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x ∈]a, b[, |x −x0| < η ⇒|f(x) −f(x0)| < ε 6) ∀a ∈Z, ∀b ∈N∗, ∃q ∈Z, a = b q + r et 0 ≤r < b. Exercice 4 VRAI ou FAUX ? 1) P, Q ´ etant des propositions, La n´ egation de (P ⇒Q) est (Q ⇒P) 2) soit f : E − →F une application. (∀x, y ∈E, f(x) = f(y) ⇒x = y) ⇔(∀x, y ∈E, x = y ou f(x) = f(y) 3) Si f : E − →F et g : F − →E sont des applications bijectives, on a (f ◦g)−1 = f −1 ◦g−1 4) Soient f : E − →F une application et A ⊆E. ∀x ∈E, f(x) ∈f(A) ⇒x ∈A Exercice 5 4 P, Q, R, S ´ etant 4 propositions, on d´ esigne par A la proposition : (P ∨Q) ∧(R ∨S) et par B la proposition : (P ∧Q) ∨(R ∧S) 1) D´ eterminer une autre proposition ´ equivalente ` a A et une autre proposition ´ equivenlente ` a B. 2) x et y ´ etant des nombres r´ eels, en utilisant les r´ esultats de la question pr´ ec´ edente, r´ esoudre le syst` eme (S) suivant : (x −1)(y −2) = 0 (x −2)(y −3) = 0 3) x et y ´ etant des nombres r´ eels, en utilisant les r´ esultats de la question pr´ ec´ edente, r´ esoudre l’´ equation (E) suivante : |(x −3)(y −2)| + |(x −1)(y −4)| = 0 Exercice 6 Soient P et Q deux propositions. On note P ↑Q la proposition ⌉(P ∧Q). ↑s’appelle la barre de Sheﬀer. 1) Exprimer ⌉P, P ∧Q, P ∨Q ` a l’aide de P, Q et du seul connecteur ↑. 2) Exprimer de mˆ eme P ⇒Q et P ⇔Q. Exercice 7 Ecrire ` a l’aide de quantiﬁcateurs les propositions suivantes et donner les valeurs de v´ erit´ e. 1) Le carr´ e de tout r´ eel est positif. 2) Certains r´ eels sont strictement sup´ erieurs ` a leur carr´ e. 3) Aucun entier n’est sup´ erieur ` a tous les autres. 4) Tous les r´ eels ne sont pas des quotients d’entiers. 5) Il existe un entier multiple de tous les autres. 6) Entre deux r´ eels distincts, il existe un rationnel. 7) Etant donn´ e trois r´ eels, il y en a au moins deux de mˆ eme signe. Exercice 8 5 1) D´ emontrer par r´ ecurrence les propositions suivantes : a)∀n ∈N, Pn k=0 2k = 2n+1 −1 b) ∀n ∈N, Pn k=0 k2 = n (n+1) (2n+1) 6 2) D´ emontrer par r´ ecurrence que ∀n ∈N \ {0, 1, 2, 3}, n2 ≤2n Exercice 9 D´ emontrer que pour tout n ∈N, 1) n3 −n est divisible par 6, 2) n5 −n est divisible par 30, 3) Soit 4 divise n2, soit 4 divise n2 −1. Ensembles, Applications Exercice 10 Soient A, B et C des parties quelconques d’un ensemble E. On note A le compl´ ementaire de A dans E Simpliﬁer les ensembles suivants : 1) X = (A ∩B) ∪(A ∩B), 2) Y = (A ∪B) ∩(A ∪B), 3) Z = A ∩B ∩(A ∩B), 4) U = [A ∩(B ∪C)] ∩[(B ∩C) ∪C], 5) V = (A ∩B) ∪(A ∩C) ∪[(A ∪B) ∩(A ∪C)]. Exercice 11 Soient A, B, C des ensembles ; Montrer que : 1) A ∪B = A ∩C ⇒ B ⊂A ⊂C, 6 2) A ∩B ⊂A ∩C et A ∪B ⊂A ∪C ⇒ B ⊂C. Exercice 12 Soient A, B, C des parties d’un ensemble E. I) Ecrire en utilisant ∀, ∃les assertions suivantes. (a) A = ∅ (b) A ∩B ̸= ∅ (c) A ∪B = ∅ II) Dire si les propositions suivantes sont vraies. (Justiﬁer vos r´ eponses !) 1) A ⊆B ⇔ A ∪B = B ; 2) A ⊆B ⇔ A ∪B = E ; 3) A ⊆B ∩A ⇒B ⊆A 4) A ∪B ⊆A ⇒A ⊆B. 5) A ⊆B ∩C ⇒ A ⊆B et A ⊆C 6) A ⊆B ∪C ⇒ A ⊆B ou A ⊆C. 7) A ⊆B ∩C ⇒ A ⊆B ou A ⊆C. 8) A ⊆B ∪C ⇒ A ⊆B et A ⊆C. 9) B ∩C ⊆A ⇒ B ⊆A et C ⊆A. Exercice 13 On appelle diﬀ´ erence sym´ etrique de deux sous-ensembles A et B de E le sous ensemble not´ e A∆B suivant : A∆B = (A \ B) ∪(B \ A) 1) Montrer que A∆B = (A ∪B) \ (A ∩B) 2) D´ eterminer A∆∅, A∆E, A∆A, A∆A o` u A est une partie de E et A sont compl´ ementaire dans E. 3) Montrer que A∆B = ∅ ⇔ A = B. 7 4) Soient A, B, C des parties de E. Montrer que (A∆B)∆C = A∆(B∆C) Exercice 14 a) Indiquer si la famille d’ensemble (An)n∈N partitionne E dans chaque cas suivan : 1) ∀n ∈N, An = {n, n + 2} et E = N, 2) ∀n ∈N, An = {2 n, 2 n + 1} et E = N, 3) ∀n ∈N, An = [2 n, 2 n + 1[ et E = R∗ +, 4) ∀n ∈N∗, An = [ 1 n+1, 1 n[ et E =]0, 1[. b) Pour tout n ∈N∗, on pose Bn =] 1 n, n + 1]. Caract´ eriser de mani` ere explicite les ensembles suivants : C = \ n∈N∗ Bn, D = [ n=∈N∗ uploads/s3/ fiche-td-l1-logiquemathematique-ufr-mi-22.pdf