Classe: 3GCU Année Académique: 2018-2019 OBJECTIF : EXPOSÉ DE PROBABILITÉ ET ST

Classe: 3GCU Année Académique: 2018-2019 OBJECTIF : EXPOSÉ DE PROBABILITÉ ET STATISTIQUE Sous la Direction de : Mr NDOM FRANCIS LES LOIS DE PROBABILITES CLASSIQUES REPUBLIC OF CAMEROON *********** PEACE-WORK-FATHERLAND ********** MINISTERY OF HIGHER EDUCATION *********** NATIONAL ADVANCED SCHOOL OF ENGINEERING *************** RÉPUBLIQUE DUCAMEROUN ********** PAIX-TRAVAIL-PATRIE ************ MINISTÈRE DES ENSEIGNEMENTS SUPÉRIEURES ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE **************** 2 sur 15 Sous la présentation de : 1. SIYAPZE FRANCK BERTIN JOVIAL (chef) 2. TOTOUM KOUDJOU CYRILLE(Sous-chef) 3. FOZANG NANFAH VALDEX DYLANE 4. DJEUMO SIEWE DANIELLE 5. YAHTAIKI MASSAH CLEMENTINE 6. MOMO WANTO KEVIN CARMEL 7. GATIENT BIDJECK JUNIOR 8. FOMENE LANDO DE CHANCE 9. FOMO NGOUMTSA JULIETTE SOLENNE 10. MANAKABA JINNETTE KASSANDRA 11. NEGOU KENMOGNE MARDEL REVEL 12. MUKAM LENCHE JORDAN DILAN 13. OTTOU NDZIE FABIEN ISMAEL 14. NGAHA FETMI DRUISIN 15. EYANGO KWATO DANIEL YVAN 16. FONKOU SOP MARC KENETH 17. NDONGO II LEOPOLD CESAR BRICE 18. MBIADA MBIADA PATRICK JOEL 19. ABADA NGUELE YANN JEFFRY 20. TETE NKAN FABIOLA 21. ONANA MOUTASSI CHRISTIAN JUNIOR 22. DJEUFACK JUNIOR 23. MAMA ONOMO DONALD CHAMBERLIN 24. MEWA TIWA ZIDAN 25. FOE NKOUSSA ROGER BERTRAND 26. NJENDOH MEDJO GUY ARMEL 3 sur 15 SOMMAIRE I- DISTRIBUTIONS DISCRÈTES ............................................................... 5 A. DOMAINE FINI .................................................................................. 5 1. LOI UNIFORME DISCRÈTE .......................................................... 5 2. LOI BERNOULLI............................................................................. 5 3. LOI BINOMIALE ............................................................................. 6 B. DOMAINE INFINI .............................................................................. 7 1. LA LOI DE POISSON ...................................................................... 7 II- DISTRIBUTIONS CONTINUES ........................................................... 8 A. INTERVALLE NON BORNÉ ............................................................. 8 1. LOI NORMALE ET LOIS ASSOCIÉES ......................................... 8 2. LOI EXPONENTIELLE ................................................................. 11 3. LA LOI GAMMA ........................................................................... 12 B. SUR UN INTERVALLE BORNÉ ..................................................... 13 1. LA LOI BÉTA ................................................................................ 13  Lois bêta1 .............................................................................................. 13  Lois bêta 2 ............................................................................................. 13 CONCLUSION ................................................................................................ 14 REFERENCES ................................................................................................ 15 4 sur 15 INTRODUCTION Depuis l’antiquité, l’étude des phénomènes aléatoires existe à travers les jeux de hasard, les paris sur les risques des transports maritimes ou les rentes viagères. Cependant une des premières références connues à des calculs de probabilité est un calcul élémentaire sur la divine comédie qui n’apparait qu’au XV siècle. De façon informelle en théorie des probabilités et en statistiques, une loi de probabilité décrit le comportement aléatoire d’un phénomène dépendant du hasard. Historiquement, les lois de probabilités ont été étudiées à travers les jeux de dés, jeux de cartes, tirage de boules dans les urnes, jeux de pile ou face et ceux-ci étaient des motivations pour comprendre et surtout prévoir des phénomènes aléatoires. Lors de l’observation d’un phénomène quel que soit sa nature, toutes les valeurs sont fluctuées ou variable. De plus toutes les mesures ont une part d’erreur intrinsèque. Les lois de probabilités permettent de modéliser ces incertitudes et de décrire les phénomènes physiques, biologiques, économiques. La statistique quant à elle permet de trouver ces lois de probabilités adaptées aux phénomènes aléatoires. Dans cet exposé il sera question pour nous de comprendre les types de phénomènes que l’on peut modéliser par des lois classiques. Nous présenterons d’une part les distributions discrètes dans les domaines finis et infinis et d’autre part les distributions continues sur des intervalles bornés et non bornés. 5 sur 15 I- DISTRIBUTIONS DISCRÈTES Par définition les variables aléatoires discrètes prennent des valeurs entières discontinues sur un intervalle donné. Ce sont généralement le résultat de dénombrement. A. DOMAINE FINI On entend par là le cas où la variable aléatoire ne peut prendre qu’un nombre limité de valeur. 1. LOI UNIFORME DISCRÈTE a) Définition et Généralité La loi uniforme sur [1, n] est la loi de probabilité d’une variable aléatoire X prenant chaque valeur de l’ensemble {1,2,…n} avec la même probabilité : P(X=k)=   pour tout entier k compris entre 1 et n. Plus généralement, soit Ω un ensemble fini de cardinal n. la loi de probabilité équidistribuée ou uniforme sur  est la loi définie sur Ω par P ( )=   pour tout élément de Ω . Notation : X suit la loi uniforme sur [1, n] se note X~ ({1, …, }) Propriétés : Supposons X~ > ({, …, })  l’espérance est donnée par: [] =   ∑   =    la variance est donnée par: !() = " [] =   ∑   −$   % =  &  où '[(] est l’écart type de la variable aléatoire X b) Cas d’applications de la loi uniforme discrète La loi de probabilité uniforme intervient dans de nombreux domaines comme les jeux de pile ou face, les jeux de dé parfaitement équilibré, les loteries, les sondages… 2. LOI BERNOULLI a) Définition et Généralités On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve ne possédant que deux issues possibles, que l’on appelle succès et échec. 6 sur 15 Si X désigne une variable aléatoire réelle comptant le nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli, alors nous avons les deux cas suivants :  (X = 1) est l’événement correspondant au succès : on lui donne la probabilité p (p ∈ [0,1]) ;  (X = 0) est donc l’événement correspondant à l’échec. Il a pour probabilité q = 1−p. Notation : Si une variable aléatoire réelle X suit une loi de Bernoulli, alors on note X~ > )(*) où p désigne la probabilité du succès. Propriétés :  Son espérance est () = *  Sa variance est !() = *( −+)  Sa fonction génératrice: ,(-) = . + *0 b) Quelques exemples d’application de la loi: Une éprouvette de béton est soumise à un test de gonflement (norme ASTM5). L’éprouvette peut soit échouer (X=0) soit réussir le test (X=1). La probabilité que l’éprouvette réussisse le test est « p ». X est une V.A de Bernoulli. 3. LOI BINOMIALE a) Définition et Généralités C’est une loi qui modélise le nombre de succès obtenus à l’issus d’une succession d’expériences identiques et indépendantes. Deux paramètres définissent cette loi à savoir : n : le nombre de fois que l’expérience est répétée P : la probabilité d’obtention du « succès » À une expérience de ce type, est associée une variable aléatoire X prenant la valeur 1 pour le succès et la valeur 0 pour l’échec, avec les probabilités respectives p et (1−p) = q. Cette variable est appelée variable de Bernoulli et la variable associée à la loi binomiale étant l’addition de plusieurs variables de Bernoulli pour la même expérience. La probabilité d’obtenir k succès au cours de n expériences identiques est donnée par: + = 1 ⋅+ ( −*)& . Notation :Si une variable aléatoire réelle X suit une loi binomiale, alors on note X~ > )(, *). Propriétés : 7 sur 15  son espérance est : 3 = 4  sa variance est : 5(() = 4(1 −4) b) Quelques exemples d’application de la loi : Cette loi de probabilité est utilisée dans le domaine technique pour déterminer la probabilité de défaillance à la sollicitation de matériel, en contrôle qualité, mais ne peut s’appliquer rigoureusement si les expériences sont non exhaustives. Comme illustration, on peut se proposer d’étudier la fiabilité d’un matériau en lui imposant une contrainte mécanique. Pour ce faire, On considère une expérience consistant à réaliser un choc dans les mêmes conditions sur plusieurs matériaux (De mêmes dimensions et de mêmes propriétés) et on s’intéresse à la résistance du matériau au dépend du choc ; On considère comme succès lorsque le matériau résiste au choc sans se fissurer, et le cas contraire comme échec. Si effectivement pour certaines expériences on obtient le succès, alors la loi binomiale dans ce cas nous permet d’avoir théoriquement une idée sur la résistance du matériau en question par rapport à l’intensité du choc appliqué. B. DOMAINE INFINI Ici, la variable aléatoire peut prendre un nombre illimité de valeurs. 1. LA LOI DE POISSON a) Historique et Définition : La loi de Poisson a été introduite en 1938 par Siméon Denis Poisson (1781-1840), dans son ouvrage Recherche sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Le sujet principal de cet ouvrage consiste en certaines variables aléatoires N qui dénombrent, entre autres choses, le nombre d’occurrences (parfois appelées « arrivées ») qui prennent place pendant un laps de temps donné. Si le nombre moyen d’occurrences dans un intervalle de temps fixé est 6, alors la probabilité qu’il existe exactement k occurrences (k étant un entier naturel, k=0, 1, 2…) est : *( ) = +( = ) = 7 ! 9&7 Où :  e est la base de l’exponentielle (e≈2.718)  k ! est la factorielle de k ;  7 est un nombre réel strictement positif. 8 sur 15 Notation : On dit alors que X suit la loi de Poisson de paramètre 6 et on note (~ > ℘(6) Propriétés :  Son espérance est 6  Sa variance est 6 b) Quelques exemples d’application de la loi : Le domaine d’application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des évènements rares comme les suicides d’enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents uploads/s3/ final-expose-de-probabiltes-stat.pdf

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