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DERNIÈRE IMPRESSION LE 26 juin 2013 à 15:10 Lois de probabilité à densité Loi n

DERNIÈRE IMPRESSION LE 26 juin 2013 à 15:10 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique . . . . . . . . . . 2 1.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.2 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.4 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.5 Application à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Lien entre le discret et le continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 La loi normale 9 2.1 Du discret au continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 La loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Loi normale centrée réduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Calcul de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.5 Probabilité d’intervalle centré en 0 . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Loi normale générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1 Loi normale d’espérence µ et d’écart type σ . . . . . . . . . 13 2.3.2 Inﬂuence de l’écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.3 Approximation normale d’une loi binomiale . . . . . . . . . 15 2.3.4 Théorème Central-Limit (hors programme) . . . . . . . . . . 17 PAUL MILAN 1 TERMINALE S 1 LOIS À DENSITÉ 1 Lois à densité 1.1 Introduction Lorsque l’on s’interesse à la durée d’une communication téléphonique, à la durée de vie d’un composant électronique ou à la température de l’eau d’un lac, la va- riable aléatoire X associée au temps ou à la température, peut prendre une inﬁnité de valeurs dans un intervalle donné. On dit alors que cette variable X est continue (qui s’oppose à discrète comme c’est le cas par exemple dans la loi binomiale). On ne peut plus parler de probabilité d’événements car les événements élémen- taires sont en nombre inﬁni. La probabilité d’une valeur isolée de X est alors nulle. On contourne cette difﬁculté en associant à la variable X un intervalle de R et en déﬁnissant une densité de probabilité. 1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique Définition 1 : On appelle densité de probabilité d’une variable aléatoire continue X, toute fonction f continue et positive sur un intervalle I ([a; b], [a; +∞[ ou R) telle que : • P(X ∈I) = Z (I) f (t) dt = 1 • Pour tout intervalle J = [α, β] inclus dans I, on a : P(X ∈J) = Z β α f (t) dt D’autre part la fonction F déﬁnie par : F(x) = P(X ⩽x) est appelée la fonction de répartition de la variable X F(x) = Z x a f (t)dt ou lim a→−∞ Z x a f (t)dt Remarque : • Comme la fonction f est continue et positive, la probabilité P(X ∈I) cor- respond à l’aire sous la courbe Cf . Elle vaut alors 1 u.a. • La probabilité P(X ∈J), avec J = [α; β], correspond à l’aire du domaine délimité par Cf , l’axe des abscisse et les droites d’équation x = α et y = β. 1 P(X ∈J) P(X ∈I) 1 u.a. Cf α β O • Comme la probabilité que X prenne une valeur isolée est nulle, que l’in- tervalle J soit ouvert ou fermé im- porte peu. Ainsi : P(X ∈[α, β]) = P(X ∈[α, β[) = P(X ∈]α, β]) = P(X ∈]α, β[) 1 F(x) Cf x O PAUL MILAN 2 TERMINALE S 1.3 LOI UNIFORME • L’écriture (X ∈I) est une notation abusive car X n’est pas un nombre, mais la fonction qui associe une issue à un nombre. Elle prolonge la notation déjà utilisée pour des variables discrètes (X = a) Définition 2 : L’espérance mathématique d’une variable aléatoire continue X, de densité f sur I, est : E(X) = Z (I) t f (t) dt 1.3 Loi uniforme 1.3.1 Déﬁnition Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle I = [a, b], avec a ̸= b, lorsque la densité f est constante sur cet intervalle. On en déduit alors la fonction f : f (t) = 1 b −a Conséquence Pour tout intervalle J = [α, β] inclus dans I, on a alors : P(X ∈J) = β −α b −a = longueur de J longueur de I La probabilité est donc proportionnelle à la longueur de l’intervalle considéré. 1 b −a a α β b P(X ∈J) O 1 u.a. Exemple : On choisit un nombre réel au hasard dans l’intervalle [0 ;5]. On associe à X le nombre choisi. Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4 ? compris entre e et π ? P(X > 4) = 1 5 P(e ⩽X ⩽π) = π −e 5 ≃0, 085 1.3.2 Espérance mathématique Théorème 1 : Si X suit une loi uniforme sur un intervalle I = [a; b], avec a ̸= b, alors son espérance mathématique vaut : E(X) = a + b 2 Démonstration : D’après la déﬁnition de l’espérance, on a : E(X) = Z b a t b −a dt = t2 2(b −a) b a = b2 −a2 2(b −a) = (b −a)(b + a) 2(b −a) = b + a 2 PAUL MILAN 3 TERMINALE S 1 LOIS À DENSITÉ Remarque : Dans notre exemple précédent, on trouve : E(X) = 2, 5 ce qui n’a rien de surprenant ! 1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo Méthode de Monté-Carlo : méthode probabiliste très utilisée pour la résolution approchée de problèmes variés allant de la théorie des nombres à la physique mathématique en passant par la production industrielle. Application : Calcul d’une valeur approchée du nombre π • Par la méthode du rejet : On admet, lors du tirage au hasard d’un point dans un carré de côté 1, que la pro- babilité de tirer un point dans un do- maine situé dans ce carré unité est pro- portionnelle à l’aire de ce domaine. Comme il s’agit du carré unité, cette probabilité est donc égale à l’aire du domaine. 1 1 Zone de rejet zone d’acceptation y ⩽ √ 1 −x2 O On tire un grand nombre de points (par uploads/s3/ cours-lois-densite-loi-normale.pdf