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4/26/2021 Chapitre 2 — La Loi Normale www.unit.eu/cours/Decision_et_prevision_s

4/26/2021 Chapitre 2 — La Loi Normale www.unit.eu/cours/Decision_et_prevision_statistiques/chapitre2/index.html 1/12 La Loi Normale L'objectif du chapitre est de présenter la loi normale qui est le modèle probabiliste le plus utilisé pour décrire de très nombreux phénomènes observés dans la pratique. Une grande attention devra être accordée aux concepts, essentiels en statistiques, d'espérance mathématique et de variance et aux opérations qui leurs sont attachées. 1 - Variables Aléatoires Continues Loi De Probabilité Rappelons que si, à un ensemble de possibilités Ω, nous attachons un nombre X prenant les valeurs : x , ..., x , ..., x , lorsque se produit l'un des événements : e , ..., e , ..., e , on dit que X est une variable aléatoire. Cette variable est définie lorsqu'on connait les probabilités : p(x ), ..., p(x ), ..., p(x ) correspondant aux valeurs possibles de X. Ces probabilités sont obligatoirement telles que : p(x ) + ... + p(x ) + ... + p(x ) = 1 et la correspondance { x , p(x )} est appelée : loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X. Si les valeurs possibles de X, sont réparties de façon continue sur un intervalle fini ou infini, X est une variable aléatoire continue. Une telle variable est définie si l'on connait la probabilité pour que X prenne une valeur dans tout intervalle [ x, x + h [. On se donne pour cela la fonction de répartition de X : P(x) = Prob{X < x} qui permet de calculer, pour tout intervalle : Prob{x ≤ X< x + h} = P(x+h) - P(x) Un cas particulier important, auquel nous nous attacherons exclusivement dans ce qui suit, est celui où la fonction de répartition est continue, et peut être mise sous la forme : P(x)= ∫ p(u) du où p(x) s'appelle la densité de probabilité de X, appellation qui résulte du fait que : p(x) = lim Δ x → 0 Prob { x ≤ X < x + Δx } Δx La densité de probabilité p(x) ou la fonction de répartition P(x) définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire continue X. Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes : Il est important de bien noter que, conformément aux axiomes qui définissent les probabilités : ∫ p(x).dx = 1 et 0 ≤ P(x) ≤ 1 Loi Uniforme Statistiques > Ch.2: La Loi Normale 1 i n 1 i n 1 i n 1 i n i i -∞ x -∞ +∞ Ch.2 La Loi Normale PDF Vidéo Calculatrice Introduction Variables aléatoires continues Loi De Probabilité Loi Uniforme Loi Exponentielle Loi De Probabilité À Deux Dimensions Indépendance De Deux Variables Aléatoires Fonctions De Variables Aléatoires Espérance Loi Normale Exercices 4/26/2021 Chapitre 2 — La Loi Normale www.unit.eu/cours/Decision_et_prevision_statistiques/chapitre2/index.html 2/12 La variable aléatoire U est distribuée uniformément sur l'intervalle [a, b] si sa densité de probabilité est constante sur cet intervalle : p(u) = 1/(b-a) et si sa fonction de répartition a, par conséquent, l'équation suivante : P(u) = (u-a)/(b-a) Loi Exponentielle Nous avons montré dans le chapitre précédent que, si la probabilité d'apparition d'un événement pendant un intervalle de temps Δt était égale à λ.Δt, la probabilité pour qu'il se produise k fois pendant un intervalle de temps t, était donnée par la loi de Poisson de paramètre λt : p (t)= (λt) .e / k! Si, maintenant, on considère les intervalles de temps T qui s'écoulent entre les événements successifs d'un processus de Poisson, soit F(t) la fonction de répartition de T . On a : F(t) = 1 - Prob{T>t} Or cette dernière probabilité est égale à la probabilité pour qu'il ne se produise aucun événement jusqu'à l'instant t, c'est-à-dire p (t), et par conséquent : F(t) = 1 - e C'est la loi exponentielle qui peut constituer un modèle intéressant pour les durées de vie aléatoires de certains matériels (tubes électroniques) : à chaque instant t de la vie du matériel, la probabilité de défaillance pendant l'intervalle de temps Δt qui suit, est indépendante de t et égale à λ.Δt. Loi De Probabilité À Deux Dimensions Si, à un événement aléatoire, sont attachés deux nombres X et Y, ces deux nombres définissent un vecteur aléatoire à deux dimensions. La loi de probabilité d'un tel vecteur peut être définie par la fonction de répartition : P(x,y) = Prob{X<x, Y<y} où la virgule se lit "et". Si cette fonction est dérivable en x et y, on peut définir la densité de probabilité p(x,y) qui est telle que : p(x,y) dx dy = Prob{x≤X<x+dx, y≤Y<y+dy} Géométriquement p(x,y) dx dy peut s'interpréter comme la probabilité pour que l'extrémité du vecteur aléatoire (X,Y) se trouve dans une aire ds = dx.dy autour du point (x, y). S'intéressant à la variable X, par exemple, indépendamment de la variable Y, on obtient la distribution marginale de X en calculant sa densité de probabilité p (x) : p (x) dx = Prob{x≤X<x+dx} = dx ∫ p(x,y) dy De même la distribution marginale de Y est définie par la densité de probabilité p (x) : p (y) dy = Prob{y≤Y<y+dy} = dy ∫ p(x,y) dx Indépendance De Deux Variables Aléatoires Par définition, deux variables aléatoires sont indépendantes si la probabilité pour que la valeur de l'une d'elle tombe dans un intervalle donné, ne dépend pas de la valeur prise par l'autre. La probabilité conditionnelle de X, par exemple, est donc indépendante de Y. Or elle s'écrit, avec les notations ci-dessus : Prob{x≤X<x+dx/y≤Y<y+dy} = p(x,y) dx dy / p (y) dy = p(x,y) dx / p (y) Si les deux variables sont indépendantes, cette expression doit dépendre de x seulement et l'on doit donc pouvoir faire disparaître p (y) par simplification. De la même façon, l'expression : k k -λt 0 -λt 1 1 -∞ +∞ 2 2 -∞ +∞ 2 2 2 Ch.2 La Loi Normale PDF Vidéo Calculatrice Introduction Variables aléatoires continues Loi De Probabilité Loi Uniforme Loi Exponentielle Loi De Probabilité À Deux Dimensions Indépendance De Deux Variables Aléatoires Fonctions De Variables Aléatoires Espérance Loi Normale Exercices 4/26/2021 Chapitre 2 — La Loi Normale www.unit.eu/cours/Decision_et_prevision_statistiques/chapitre2/index.html 3/12 Prob{y≤Y<y+dy/x≤X<x+dx} = p(x,y) dy / p (x) doit dépendre de y seulement et l'on doit pouvoir la simplifier pour faire disparaître p (y). Il en résulte que p(x,y) doit être égal au produit des densités de probabilité marginales de X et de Y : p(x,y) = p (x) p (y) Cette condition est évidemment nécessaire et suffisante. Elle se généralise pour un nombre quelconque de variables aléatoires indépendantes dans leur ensemble. Fonctions De Variables Aléatoires Etant données une variable aléatoire X, définie par sa densité de probabilité p(x), et une fonction f, la variable aléatoire f(X), fonction de la variable aléatoire X, est définie de la façon suivante : f(X) prend la valeur f(x), lorsque X prend la valeur x. On remarquera qu'une variable f(X) peut prendre la même valeur pour deux valeurs différentes x et x de X. La probabilité de la valeur f(x ) ou f(x ) est alors égale à p(x ) + p(x ). On peut aussi définir des fonctions de plusieurs variables aléatoires. La somme de deux variables aléatoires, notamment, se définit de la façon suivante : étant donné deux variables aléatoires X et Y , leur somme est la variable aléatoire (X+Y) qui prend la valeur (x+y) lorsque X prend la valeur x et Y prend la valeur y. Là encore, une même valeur de la somme peut être obtenue pour deux couples différents de valeurs de X et Y. Penser, par exemple à la variable : on jette deux dés et on en fait la somme. 2 - Espérance Espérance et Moments d'une Variable Aléatoire Etant données une variable aléatoire X définie par sa densité de probabilité p(x) et une fonction f, on désigne par le terme d'espérance mathématique de la variable aléatoire f(X), et on la note E[f(X)], l'expression : E[f(X)]= ∫ f(x)p(x)dx C'est donc un opérateur qui transforme la variable aléatoire f(X) en un nombre. Appliqué à la variable X elle-même, l'opérateur donne sa moyenne μ : μ=E(X)= ∫ x p(x)dx Dans le cas d'une variable aléatoire discrète à valeurs positives ou nulles : x ,... , x ,... , x , l'expression précédente devient : μ = E[f(X)] = ∑ f(x )p(x ) et toutes les propriétés de l'opérateur E que nous démontrerons par la suite, pour une variable continue, s'étendent sans difficulté au cas d'une variable discrète. Lorsque f(X) est une puissance de X, l'expression E(X ) est appelée moment d'ordre k de la variable aléatoire X. La moyenne μ = E(X) est ainsi le moment d'ordre 1 de la variable X. Elle s'interprète comme l'abscisse du centre de gravité de la distribution de probabilité et c'est, à ce titre, une caractéristique de tendance centrale de la distribution : les valeurs d'une variable aléatoire se répartissent autour de sa moyenne. Variance et Écart-Type Il peut alors s'avérer intéressant de rapporter une variable aléatoire à sa moyenne, autrement dit de la centrer. On obtient uploads/s3/ chapitre-2-la-loi-normale.pdf