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Lycée JANSON DE SAILLY 30 avril 2018 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES- L I

Lycée JANSON DE SAILLY 30 avril 2018 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES- L I INTRODUCTION Dans différents domaines on est amené à étudier des variables aléatoires pouvant prendre théoriquement toute valeur réelle d’un intervalle I de R. Ces variables aléatoires sont dites continues. C’est le cas, par exemple, de la durée du temps d’attente aux consultations d’un hôpital ﬁctif. Temps d’attente (en minutes) [0;10[ [10;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[ [50;60[ [60;70[ [70;80[ [80;90] Fréquences 0,064 0,152 0,192 0,192 0,166 0,123 0,074 0,032 0,005 La série statistique à caractère quantitatif continu est représentée par un histogramme constitué d’une juxtaposition de rectangles dont les aires sont proportionnelles aux fréquences. Histogramme 0,05 0 0,5 1,0 1,5 0 0,05 0,10 0,15 0,20 Polygone des fréquences cumulées 0 0,5 1,0 1,5 0 0,25 0,50 0,75 1,00 b b b b b b b b b b On modélise la situation à l’aide d’une variable aléatoire X mesurant la durée en heure du temps d’attente aux consultations de cet hôpital avec X ∈[0;1,5]. Pour une telle variable aléatoire, les évènements étudiés sont ceux qui correspondent à des intervalles du type X ∈[0;0,3], 0,5 É X É 1 ou X > 0,5. Le calcul de la probabilité P (X = 0,345) que le temps d’attente soit exactement de 20 minutes et 42 secondes n’a pas de sens. Dans le cas d’une variable aléatoire continue le polygone des fréquences cumulées croissantes est remplacé par la courbe représentative de la fonction de répartition F permettant de calculer des probabilités. On suppose que la fonction F est déﬁnie sur l’intervalle [0;1,5] par F(x) = Zx 0 f (t)dt où f est la fonction déﬁnie sur [0;1,5] par f (t) = 64t3 27 −64t2 9 + 16t 3 . On dit que f est la fonction de densité de probabilité de la variable aléatoire X . Fonction de densité 0 0,5 1,0 1,5 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 t F(x) P (X É x) = F(x) = Zx 0 f (t)dt x Fonction de répartition 0 0,5 1,0 1,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 t x F(x) Ainsi, pour tout réel x de l’intervalle [0;1,5], F(x) est l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction de densité f , les axes du repère et la droite d’équation t = x. On en déduit que : — P (X É 0,3) = F(0,3) = Z0,3 0 f (t)dt = 0,1808. — P (0,5 É X É 1) = F(1)−F(0,5) = Z1 0,5 f (t)dt = 13 27. — P (X > 0,5) = 1−P (X É 0,5) = 1−F(0,5) = 1− Z0,5 0 f (t)dt = 16 27. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 1 sur 18 Lycée JANSON DE SAILLY 30 avril 2018 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES- L II DENSITÉ DE PROBABILITÉ ET LOI DE PROBABILITÉ 1 VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE Une variable aléatoire pouvant prendre toute valeur d’un intervalle I de R est dite continue. 2 FONCTION DE DENSITÉ Soit I un intervalle de R. On appelle fonction de densité de probabilité sur I toute fonction f déﬁnie, continue et positive sur I telle que l’intégrale de f sur I soit égale à 1. EXEMPLE Vériﬁons que la fonction f déﬁnie pour tout réel t de l’intervalle [0;1,5] par f (t) = 64t3 27 −64t2 9 + 16t 3 est une fonction de densité de probabilité sur [0;1,5]. — La fonction f est dérivable sur [0;1,5] donc continue. — Pour tout réel t, 64t3 27 −64t2 9 + 16t 3 = 16t ¡ 4t2 −12t +9 ¢ 27 = 16t (2t −3)2 27 . Par conséquent, la fonction f est positive sur l’intervalle [0;1,5]. — Une primitive de la fonction f est la fonction F déﬁnie sur sur [0;1,5] par F(t) = 16t4 27 −64t3 27 + 8t2 3 d’où Z1,5 0 f (t)dt = F(1,5)−F(0) = 1 Ainsi, f est une fonction de densité de probabilité sur [0;1,5] 3 LOI DE PROBABILITÉ Soit f une fonction de densité de probabilité sur un intervalle I. On dit que la variable aléatoire X suit la loi de probabilité de densité f sur l’intervalle I lorsque, pour tout intervalle [a;b] inclus dans I, la probabilité de l’événement X ∈[a;b] est : P (X ∈[a;b]) = P (a É X É b) = Zb a f (t)dt REMARQUE P (a É X É b) est la mesure, en unités d’aire, de l’aire du domaine compris entre la courbe C f représentative de la fonction f , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b. On a représenté ci-dessous la courbe représentative de la fonction de densité étudiée dans l’exemple précédent. 0 0,5 1,0 1,5 0 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 P (a É X É b) a b On observe sur cet exemple, que la fonction f prend des valeurs supérieures à 1 sur l’intervalle [0;1,5] : c’est possible car f (x) n’est pas une probabilité, c’est une densité de probabilité. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 2 sur 18 Lycée JANSON DE SAILLY 30 avril 2018 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES- L PROPRIÉTÉS Soit X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I. Pour tous réels a et b appartenant à I 1. P (X = a) = Za a f (t)dt = 0 2. P (a É X É b) = P (a < X É b) = P (a É X < b) = P (a < X < b) 3. P (X Ê a) = P (X > a) = 1−P (X É a) 4 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité f sur l’intervalle [a;b], alors l’espérance mathématique de X est le réel E(X ) = Zb a t × f (t)dt EXEMPLE Calculons l’espérance mathématique de la variable aléatoire X mesurant la durée en heure du temps d’attente aux consultations dont la fonction de densité f est déﬁnie sur [0;1,5] par f (t) = 64t3 27 −64t2 9 + 16t 3 . E(X ) = Z1,5 0 64t4 27 −64t3 9 + 16t2 3 dt = ·64t5 135 −16t4 9 + 16t3 9 ¸1,5 0 = 3,6−9+6 = 0,6 Le temps d’attente moyen aux consultations est de 0,6 h soit 36 minutes. 5 PROBABILITÉ CONDITIONNELLE Soient X une variable aléatoire suivant une loi de probabilité de densité f sur un intervalle I, J1 et J2 deux intervalles de I tel que P (X ∈J1) ̸= 0. La probabilité conditionnelle de l’évènement X ∈J2 sachant que l’évènement X ∈J1 est réalisé est : PX ∈J1 (X ∈J2) = P (X ∈J1 ∩J2) P (X ∈J1) EXEMPLE Calculons la probabilité que le temps d’attente d’une personne soit inférieur à une heure sachant qu’elle a patienté plus d’une demi-heure. Il s’agit de calculer la probabilité conditionnelle PX >0,5(X < 1). J1 =]0,5;1,5], J2 = [0;1[ et J1∩J2 =]0,5;1[ d’où PX >0,5(X < 1) = P (0,5 < X < 1) P (X > 0,5) = 13 27 16 27 = 13 16 = 0,8125 Ainsi, la probabilité que le temps d’attente d’une personne qui a patienté plus d’une demi-heure soit inférieur à une heure est égale à 0,8125. A. YALLOUZ (MATH@ES) Page 3 sur 18 Lycée JANSON DE SAILLY 30 avril 2018 LOIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Tle ES- L III LOI UNIFORME 1 DÉFINITION Soient a et b deux réels tels que a < b. Dire qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] signiﬁe que sa densité de probabilité est la fonction f déﬁnie sur [a;b] par f (t) = 1 b −a . REMARQUE 0 a b 1 b −a La fonction f déﬁnie sur [a;b] par f (t) = 1 b −a est une densité de probabilité sur [a;b] : — f est continue et positive sur [a;b]. — Zb a 1 b −a dt = · t b −a ¸b a = b b −a − a b −a = 1. 2 PROPRIÉTÉ X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a;b]. Pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b], P (c É X É d) = d −c b −a . ❊DÉMONSTRATION P (c É X É d) = Zd c 1 b −a dt = · t b −a ¸d c = d b −a − c b −a = d −c b −a 3 ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE Soient a et b deux réels tels que a < b. L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur l’intervalle [a;b] est le réel E(X ) = a +b 2 ❊DÉMONSTRATION Par déﬁnition : E(X ) = Zb a t × 1 b −a dt = · t2 2(b −a) ¸b a = b2 −a2 2(b −a) = (b −a)(b + a) 2(b −a) = a +b 2 EXEMPLE Le temps d’attente T , en minutes, auprès du standard téléphonique du service après vente d’une entreprise suit la loi uniforme sur uploads/s3/ tes-2017-2018-loi-densite.pdf