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1 PROBABILITES et STATISTIQUES Cours et exercices C. Reder IUP2-MIAGE Bordeaux

1 PROBABILITES et STATISTIQUES Cours et exercices C. Reder IUP2-MIAGE Bordeaux I 2002-2003 2 SOMMAIRE I- Le modèle probabiliste 1- Evènements 2- Loi de probabilité, espace de probabilité 3- Le cas où les évènements élémentaires sont équiprobables 4- Exercices II- Probabilités conditionnelles 1- Définition 2- Deux résultats de décomposition 3- Evènements indépendants 4- Exercices III- Variables aléatoires : généralités 1- Définitions 2- Variables aléatoires discrètes, variables aléatoires à densité 3- Couples de variables aléatoires 4- Variables aléatoires indépendantes 5- Exercices IV- Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle 5- Loi de Poisson (λ) 6- Loi normale (µ, σ) 7- Exercices VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes 1- L'inégalité de Tchebychev 2- Loi des grands nombres 3- Théorème central-limite 4- Exercices VII- Echantillonnage 1- Description des données statistiques sur un caractère 2- Echantillons aléatoires, statistiques, estimateurs 3- Estimateurs les plus usuels 3 a) Moyenne de l' échantillon b) Variance de l'échantillon c) Fonction de répartition de l'échantillon 4- Un exemple de comparaison de l'efficacité de deux estimateurs 5- Statistiques issues d'une loi normale a) Lois issues de la loi normale b) Moyenne et variance d'un échantillon de loi normale VIII- Tests d'hypothèses sur les valeurs des paramètres d'une variable aléatoire 1- Valeur de l'espérance d'une variable normale de variance connue 2- Valeur de l'espérance d'une variable normale de variance inconnue 3- Valeur de la variance d'une variable normale 4- Valeur de la probabilité d'un évènement 5- Valeur de l'espérance d'une variable aléatoire de loi quelconque 6- Intervalle de confiance pour l'estimation d'un paramètre 7- Exercices IX- Tests portant sur l'égalité des espérances de plusieurs variables aléatoires 1- Egalité des espérances de deux variables normales a) variables normales de variances connues b) variables normales de même variance inconnue c) variables normales de variances inconnues 2- Egalité de deux probabilités 3- Egalité des espérances de plusieurs variables normales : méthode de la variance 4- Exercices X- Tests d'hypothèses non-paramétriques sur la loi d'une variable aléatoire 1- Egalité de la loi de l'échantillon et d'une loi spécifiée a) Test du khi-deux b) Test par simulation 2- Cas où certains paramètres ne sont pas spécifiés 3- Egalité des lois de plusieurs échantillons 4- Indépendance de deux caractères aléatoires 5- Test des signes 6- Exercices Textes d'examens Tables 4 I- Le modèle probabiliste Voici les premières phrases d'un manuel (1): "La théorie des probabilités est une science mathématique étudiant les lois régissant les phénomènes aléatoires. Un phénomène est aléatoire si, reproduit maintes fois, il se déroule chaque fois un peu différemment, de sorte que le résultat de l'expérience change d'une fois à l'autre d'une manière aléatoire, imprévisible." L'usage même du mot expérience sous-entend que le phénomène aléatoire est observé par le biais d'un critère bien défini, et que le résultat de cette observation peut être décrit sans ambiguïté. L'expérience peut aussi être répétée, et on suppose que chacun des résultats possibles est observé avec une certaine fréquence dont la valeur se stabilise si on répète l'expérience maintes et "maintes fois". C'est cette "loi" que présuppose l'existence d'un modèle probabiliste. Ce premier chapitre est une rapide présentation du cadre formel des modèles probabilistes. 1- Evènements Etant donnée une expérience aléatoire, on note Ω l'ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience. Un singleton de Ω est appelé évènement élémentaire. Un sous-ensemble A de Ω est appelé un évènement . Un évènement A est donc un ensemble constitué de résultats possibles de l'expérience. Si le résultat d'une expérience est dans A, on dit que A est réalisé. Exemple 1-1 : On détermine le sexe d'un nouveau-né. On posera : Ω = {g, f} Le résultat g signifie que le nouveau-né est un garçon et f que c'est une fille.• Exemple 1-2 : Sept étudiants doivent passer un oral d'examen. On leur distribue un numéro d'ordre. On pose : Ω = {tous les alignements des sept lettres a, b, c, d, e, f, g} Le résultat cfabdeg signifie que l'étudiant c est le premier, a le second, .... L'ensemble des arrangements qui commencent par cf est un évènement.• 1 H.Ventsel : Théorie des probabilités. (Ed.MIR, traduction française 1973). 5 Exemple 1-3 : L'expérience consiste à déterminer la dose d'anésthésique minimale (exprimée en ml) à administrer à un patient pour l'endormir. On choisit : Ω = ] 0, +∞[ L'évènement ] 2, 3] est réalisé si la dose minimale à administrer est comprise entre 2 et 3, c'est-à-dire si une quantité supérieure ou égale à 3 suffit à endormir le patient, mais une quantité inférieure à 2 est insuffisante.• Dans le cadre de la théorie des probabilités, un évènement est généralement défini comme l'ensemble des résultats ayant une propriété donnée. La plupart du temps, l'ensemble A est noté comme la propriété qui le définit. Donnons quelques exemples de telles assimilations : Ω : évènement certain Ø : évènement impossible A B : évènement (A ou B) A B : évènement (A et B) Ac : (non A), évènement contraire de A A B = Ø : les évènements A et B sont incompatibles Exercice 1-1 : Soit Ω l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, et soient A, B et C des évènements. Traduire en termes ensemblistes les évènements : a) les trois évènements A, B et C sont réalisés b) aucun des évènements A, B ou C n'est réalisé c) au moins un des évènements est réalisé d) deux au plus des évènements est réalisé 2- Loi de probabilité, espace de probabilité On tire une boule dans une urne contenant 2 boules blanches, 1 noire, 4 vertes, 5 rouges, et on regarde sa couleur. Si on répète cette expérience, la fréquence avec laquelle on obtient une boule rouge se stabilise peu à peu sur une valeur, égale ici à 5/12. On dit couramment qu'on a 5 chances sur 12 de tirer une boule rouge. Dans le cadre d'un modèle mathématique de cette expérience aléatoire, on dira que l'évènement "tirer une boule rouge" a la probabilité 5/12. Plus généralement, dans un modèle probabiliste, chaque évènement est pondéré par un nombre compris entre 0 et 1, sa probabilité. Ces probabilités doivent respecter certaines règles de compatibilité, naturelles si on les interprète en termes de "nombre de chances sur 100". L'additivité est la principale de ces règles. Appliquée à un cas particulier dans notre exemple, elle exprime simplement que, puisqu'on a 5 chances sur 12 de tirer une boule rouge et 2 chances sur 12 de tirer une 6 blanche, on a 5+2 chances sur 12 de tirer une boule soit rouge soit blanche. L'autre règle dit seulement que si on tire une boule, on a 100% de chances de …tirer une boule… Définition 1-1 : Soit Ω un ensemble. Une loi de probabilité P sur Ω est une fonction qui à tout évènement A associe un nombre réel P(A), et qui a les trois propriétés : a) 0 ≤ P(A) ≤ 1, b) P (Ω) = 1 c) Pour toute famille finie ou dénombrable (An)n∈I d'évènements deux à deux disjoints : P( n∈I An) = ∑ n∈I P(An) . (Ω, P) s'appelle un espace de probabilité. • Exemple 1-4 : On lance un dé et on observe la face du dessus. On posera : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et on supposera que le dé est parfaitement équilibré, de sorte que la probabilité de chaque face est la même : P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) = 1 6 . Remarquons qu'alors, la probabilité de tout évènement est calculable en utilisant la propriété c) de la définition. Par exemple, comme {1, 3, 4} est la réunion des trois ensembles 2 à 2 incompatibles {1}, {3} et {4}, on a : P({1, 3, 4}) = P({1}) + P({3}) + P({4}) = 1 6 + 1 6 + 1 6 = 3 6 = 1 2 .• Plus généralement, soit Ω un ensemble fini : Ω = {ω1, ω2, ...., ωn} Définir une loi de probabilité P sur Ω revient à se donner n réels positifs ou nuls p1, p2, ...., pn tels que ∑ k=1 n pk = 1, et à poser, pour tout indice k, P({ωk}) = pk. La loi de probabilité sur Ω est alors complètement déterminée car, étant donné un évènement A, P(A) est calculable en additionnant les probabilités pk de chacun des évènements élémentaires {ωk} qui composent A. Il en est de même si Ω est un ensemble dénombrable, les sommes finies sont alors remplacées par les sommes de séries. Exercice 1-2 : Soit (Ω, P) un espace de probabilité. Répondre aux questions en utilisant la définition 1-1 : a) Si A est un évènement de probabilité P(A) connue, que vaut P(Ac) ? b) Si A B, comparer P(A) et P(B). c) Calculer P(A ou B) en fonction de P(A et B), P(A) et P(B). 7 d) Montrer que P(A ou uploads/s3/ miage-02-probas-stats.pdf