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© Tous droits réservés Studyrama 2008 MATHEMATIQUES Série S Nº : 32011 Fiche té

© Tous droits réservés Studyrama 2008 MATHEMATIQUES Série S Nº : 32011 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Corrigés Fiche 11 : Arithmétique Déterminer les valeurs que peut prendre le PGCD de deux entiers dépendant de la variable n Exercice 1 Soit d un diviseur commun à a et b. Alors d divise 2a 3nb 5n 2, − = − ainsi que ( ) 5b 2 5n 2 9. − − = On a établi : si d divise a et b alors d divise 9. Cela prouve que PGCD (a, b) vaut 1, 3 ou 9.  Méthode : « Utiliser les congruences pour régler des problèmes de divisibilité », fiche exercices n°11 « Arithmétique ». Vous y trouverez une suite de cet exercice. Déterminer une solution d’une équation ax + by = c Exercice 2 a) On observe que PGCD (6, 7) = 1 – ce qui assure l’existence de solutions – , puis que (–8) × 6 = – 48 et 7 × 7 = 49. Par suite (–24, 21) est une solution particulière de l’équation. b) L’algorithme d’Euclide fournit les égalités suivantes : 6016 = 4928 × 1 + 1088 ; 4928 = 1088 × 4 + 576 ; 1088 = 576 × 1 + 512 ; 576 = 512 × 1 + 64 ; 512 = 64 × 8 + 0. On constate que PGCD(6016, 4928) = 64 et 320 = 5 × 64 = 5 × PGCD(6016, 4928). D’autre part il vient : 64 = 576 – 512 = 576 – (1088 – 576) = 2 × 576 – 1088 = 2 × (4928 – 1088 × 4) – 1088 = 2 × 4928 – 9 × 1088 = 2 × 4928 – 9(6016 – 4928) = 11 × 4928 – 9 × 6016. On en déduit : 64 × 5 = (– 45) × 6016 – (– 55) × 4928. Par conséquent (– 45,– 55) est une solution particulière de l’équation.  Méthode : « Résoudre une équation ax + by = c, exercice », fiche exercices n°11 « Arithmétique ». Vous y trouverez une suite de cet exercice. Utiliser les congruences pour régler des problèmes de divisibilité Exercice 3 a) De 3n2 ≡ (3) et 4n ≡ n (3) on déduit a n 1 (3). ≡ − Par suite 3 divise a si et seulement si n ≡ 1 (3). D’autre part, de n ≡ 1 (3) il résulte 2n + 1 ≡ 0 (3), c’est-à-dire b ≡ 0 (3). Par conséquent a et b sont divisibles par 3 si et seulement si n ≡ 1 (3). Remarque : sachant que PGCD (a, b) vaut 1, 3 ou 9 ( Méthode : « Déterminer les valeurs que peut prendre le PGCD de deux entiers dépendant de la variable n », fiche exercices n°11 « Arithmétique ».) on en déduit que a et b sont étrangers si et seulement si n est congru à 0 ou 2 modulo 3. © Tous droits réservés Studyrama 2008 MATHEMATIQUES Série S Nº : 32011 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 2 Fiche Corrigés b) 9 divise b si et seulement si 2n 8 (9). ≡ Or, selon que n est congru à 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 modulo 9, 2n est congru à 0, 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7. Par conséquent 9 divise b si et seulement si n 4 (9). ≡ D’autre part, lorsque n 4 (9) ≡ il vient a ≡ 3 × 42 + 4 × 4 – 1 ≡ 0 (9). Par conséquent a et b sont divisibles par 9 si et seulement si n 4 (9). ≡ Remarque : on en déduit : PGCD(a, b) = 9 si et seulement si n 4 (9), ≡ PGCD(a, b) = 3 si et seulement si n 1 (3) ≡ (et non n 4 (9) ≡ ). Résoudre une équation ax + by = c Exercice 4 • On sait que cette équation a des solutions et que (– 45, – 55) est l’une d’elles ( Méthode : « Déterminer une solution d’une équation ax + by = c », fiche exercices n°11 « Arithmétique ».). • De 6016x – 4928y = (– 45) × 6016 – (– 55) × 4928 on déduit : 6016 × (x + 45) = 4928 × (y + 55) puis 94 × (x + 45) = 77 × (y + 55). Ainsi 77 divise 94 × (x + 45) et donc divise (x + 45) d’après le théorème de Gauss, puisque 77 et 94 sont étrangers. Par conséquent il existe un entier relatif tel que x + 45 = 77 . Par substitution dans 94 × (x + 45) = 77 × (y + 55) on en déduit y + 55 = 94 . T oute solution de l’équation est donc de la forme ( ) 45 77 , 55 94 , − + α − + α appartenant à . Réciproquement l’égalité 6016 × (– 45 + 77 ) – 4928 × (– 55 + 94 ) = 320 prouve que le couple (– 45 + 77 , – 55 + 94 ) est solution pour tout entier relatif . Conclusion : l’ensemble des solutions est constitué des couples ( ) 45 77 , 55 94 − + α − + α avec appartenant à . Utiliser les décompositions en facteurs premiers pour déterminer le PGCD et le PPCM Exercice 5 3240 = 23.34.5 ; 6174 = 2.32.73 ; PGCD (3240, 6174) = 2.32 = 18 ; PPCM (3240, 6174) = 23.34.5.73 = 1111320 = ab PGCD(a,b). uploads/s3/ corrige-maths-s-11.pdf