Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

1. Variables aléatoires réelles 1.1 Image directe et image réciproque d'un ense

1. Variables aléatoires réelles 1.1 Image directe et image réciproque d'un ensemble 6 1.2 Définition d'une variable aléatoire réelle 6 1.3 Fonction de répartition d'une v.a.r. 6 1.4 Quantiles (ou Fractiles) 7 1.5 Variables aléatoires discrètes 7 1.5.1 Loi de probabilité 1.5.2 Moments 1.5.3 Propriétés de l'espérance mathématique et de la variance 1.6 Fonction génératrice des moments 9 1.7 Lois discrètes usuelles 9 1.7.1 Loi uniforme 1.7.2 Loi binomiale 1.7.3 Loi hypergéométrique 1.7.4 Loi de Poisson 1.8 Variables aléatoires continues 13 1.8.1 Transformée de variables aléatoires par changement de variable 1.8.2 Moments 1.8.3 Fonction génératrice des moments 1.9 Lois continues usuelles 14 1.9.1 Loi uniforme sur un intervalle 1.9.2 Loi normale ou loi de Gauss 1.9.3 Loi du Khi-deux 1.9.4 Loi de Student 1.9.5 Loi de Fisher 1.10 Théorème central limite 17 1.11 Exercices du chapitre 1 17 5 6 1.1. Image directe et image réciproque d'un ensemble 1.1 Image directe et image réciproque d'un ensemble Définition 1.1 Soit une application f : E →F et A ⊂E, B ⊂F. Alors : 1) l'image directe de A par f est f (A) = {f (x) | x ∈A}. 2) l'image réciproque de B par f est f −1 (B) = {x ∈E | f (x) ∈B}. Exemple 1.1 Soit f : IR →IR telle quef (x) = x2. Alors : f ({1,2,3,4}) = {1,4,9,16} f −1 ({1,2}) = { − √ 2,−1,1, √ 2 } et f −1 ({−2,−1}) = ∅. 1.2 Définition d'une variable aléatoire réelle Définition 1.2 Considérons un espace probabilisé (Ω,A,P). On appelle alors variable aléatoire réelle (en abrégé v.a.r.) toute application : X : Ω− →IR / ω ∈Ω7→X (ω) ∈IR vérifiant la propriété suivante : ∀x ∈R , {ω ∈Ω/ X (ω) < x} = X−1 (]−∞,x[) ∈A. Une v.a.r. est dite discrète lorsque X (Ω) est fini ou infini dénombrable (ensembles de type N, Z, etc …), continue lorsque X (Ω) a la puissance du continu (ensembles de type R, etc …). Notations usuelles :          ∀A ⊂IR. on note X−1 (A) par [X ∈A], ∀x ∈IR. on note X−1 ({x}) par [X = x], ∀x ∈IR. on note X−1 (]−∞,x]) par [X ≤x]... etc. 1.3 Fonction de répartition d'une v.a.r. On définit la fonction de répartion d'une v.a.r. dans le cas général de la manière suivante : Définition 1.3 On appelle fonction de répartition de la v.a.r. X la fonction : FX : R →[0,1] telle que FX (x) = P [X ≤x]. Propriétés générales des fonctions de répartition (toujours valables) : Proposition 1.1 Soit F la fonction de répartition d'une v.a.r. X. Alors : 1) F est croissante sur R, 2) ∀a,b ∈R avec a < b , P [a < X ≤b] = F (b) −F (a), 3) F est continue à droite en tout point de R, Κεφάλαιο 1. Variables aléatoires réelles 7 4) lim x→+∞F(x) = 1 et lim x→−∞F(x) = 0 Exemple 1.2 Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire 2 boules l'une après l'autre avec remise et on s'intéresse à la VAR X égale au plus grand numéro tiré. Déterminer la fonction de répartition de X. On a ici : X (Ω) = {1,2,3,4,5} et il est évident que : { ∀x < 1 , F (x) = 0, ∀x ≥5 , F (x) = 1. Pour k ∈{1,2,3,4,5} il vient : F (k) = P [X ≤k] = P [“le plus grand des 2 numéros est ≤k”] = P [ “le premier numéro est ≤k” ∩“le second numéro est ≤k” ] Les tirages étant effectués avec remise les expériences sont indépendantes donc : F (k) = P [“le premier numéro est ≤k”]P [“le second numéro est ≤k”] = k2/25. Conclusion : k < 1 1 2 3 4 5 > 5 F (k) 0 1/25 4/25 9/25 16/25 25/25 1 1.4 Quantiles (ou Fractiles) Définition 1.4 On appelle quantile d'ordre α ∈[0, 1] de la v.a.r X le réel qα tel que P(X ≤qα) = α ⇔F(qα) = α Les quantiles d'ordre α avec α = k/4; k = 1, 2, 3 sont appelés les quartiles et le quantile d'ordre α = 1/2 est appelé la médiane de la v.a.r X. 1.5 Variables aléatoires discrètes Définition 1.5 Si Ωest dénombrable (resp fini), alors l'ensemble des valeurs prises par X noté X(Ω) est dénombrable (resp fini), on dit que la v.a.r. X est discrète. 1.5.1 Loi de probabilité Définition 1.6 On appelle loi de Probabilité de la v.a discrète X, la collection des couples (xi, pi), i ∈N où pour tout i ∈N, pi = P(X = xi). 8 1.5. Variables aléatoires discrètes Exemple 1.3 On lance 3 fois une pièce et on considère X = nombre de piles obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X. L'univers est alors Ω= {p,f }3 donc card(Ω) = 23. Pour un lancer on a : P ({p}) = P ({f }) = 1/2. La VAR X est à valeurs dans X (Ω) = {0,1,2,3} telle que : X : Ω− →IR / X (ω) = nombre de p (ex : ω = (p,p,f ) ⇒X (ω) = 2). La loi de X est donc l'ensemble des P [X = k] pour k = 0,1,2,3. Méthode de calcul (exemple pour k = 1) : P [X = 1] = P [ X−1 ({1}) ] = P ({ω ∈Ω/ X (ω) = 1}) = P ({(p,f ,f )} ∪{(f ,p,f )} ∪{(f ,f ,p)}) = 3/8. Alors : P [X = 0] = P [X = 3] = 1/8 , P [X = 1] = P [X = 2] = 3/8. 1.5.2 Moments Définition 1.7 Pour tout k ∈N∗, on appelle moment d'ordre k de X, le réel noté E(Xk), défini par E(Xk) = ∑ i∈N xk i pi sous réserve que la série de terme général |xi|kpi converge. Remarque : Si l'ensemble Ωest fini, la condition de convergence de la série numérique est toujours satisfaite. Par contre dans le cas infini il faut la vérifier. Le moment d'ordre 1 de X est appelé Espérance mathématique de X et le réel positif noté var(X) défini par var(X) = E(X2) −(E(X))2 est appelé variance de X et √ var(X) défini l'écart type de X noté σ(X). Interprétation pratique : • La notion d'espérance mathématique est “proche” de la notion classique de moyenne statistique (on a alors x = ∑xifi, il s'agit de la même formule en remplaçant les probabilités par des fréquences). L'espérance mathématique est aussi le barycentre du nuage de points pondérés : {(xi,pi),i = 1,...,n}. • La variance mesure la dispersion de X autour de sa ``valeur moyenne'' E(X). L'écart-type joue le même rôle que la variance. Le principal intéret de cette notion est que si X s'exprime avec une certaine unité (par exemple des m) alors l'écart-type est aussi dans la même unité (par contre la variance est ici en m2). Proposition 1.2 Soit X une VAR à valeurs dans X (Ω) = {x1,...,xn} et φ une application continue Κεφάλαιο 1. Variables aléatoires réelles 9 de R dans R. Alors : E (φ ◦X) = n ∑ i=1 φ (xi)P [X = xi]. Cette relation est très importante car elle montre que pour connaitre l'espérance de φ◦X (par exemple X2 pour φ : x 7→x2) il n'est pas nécessaire de connaitre la loi de φ ◦X (celle de X suffit puisque E ( X2) = ∑ i x2 i P [X = xi]). 1.5.3 Propriétés de l'espérance mathématique et de la variance Proposition 1.3 Soient X et Y deux v.a.r. à valeurs dans X (Ω) = Y (Ω) = {x1,...,xn} de variance finie et λ ∈R alors : i) E(λ) = λ; var(λ) = 0; ii) E(λX) = λE(X); var(λX) = λ2var(X); iii) E(X + Y) = E(X) + E(Y); iv) Si X et Y sont indépendantes alors • var(X + Y) = var(X) + var(Y) • E(XY) = E(X)E(Y) 1.6 Fonction génératrice des moments Définition 1.8 On appelle fonction génératrice des moments de la v.a. r. X, la fonction L définie sur R par : ∀t ∈R, LX(t) = E(etX) = ∑ k etkP(X = k). Exemple 1.4 Donner la fonction génératrice de la v.a.r. de l'exemple 1.3 1.7 Lois discrètes usuelles 1.7.1 Loi uniforme Pr´ esentation : une v.a.r. X suit une loi uniforme sur {x1,x2...xn} si et seulement si toutes les probabilités P [X = xi] sont égales. Proposition 1.4 Si X est à valeurs dans l'ensemble {1,2,...,n} on dit alors que X suit une loi uniforme si et seulement si : ∀k = 1,...,n , P [X = k] = 1 n et on note X ∼U({1, 2,..., n}). 10 1.7. Lois discrètes usuelles Proposition 1.5 Si X ; U({1, 2,..., n}), alors E(X) = n + 1 2 et var(X) = n2 −1 12 . Exercice 1.1 Calculer sa fonction génératrice des moments et retrouver ainsi son espérance mathématique et sa variance. 1.7.2 Loi binomiale Pr´ esentation : on considère une uploads/s3/ cours-statistique-3-chapitre1.pdf