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1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1

1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1 : Modélisation géométrique. 1 1.1 Introduction ............................................................................................................................................. 3 1.2 Classification des modèles ...................................................................................................................... 4 1.2.1 Modèle intégral de Bézier ............................................................................................................... 4 1.2.1.1 Courbe de Bézier non rationnelle ................................................................................................ 4 1.2.1.2 Surface de Bézier non rationnelle................................................................................................ 5 1.2.1.3 Courbes de Bézier rationnelles .................................................................................................... 5 1.2.1.4 Surfaces de Bézier rationnelles ................................................................................................... 6 1.2.2 Modèle par morceau B-Spline ......................................................................................................... 7 1.2.2.1 Fonction de base B-spline ........................................................................................................... 7 1.2.2.2 Courbes B-spline non rationnelles .............................................................................................. 8 1.2.2.3 Surfaces B-spline non rationnelles .............................................................................................. 9 1.2.2.4 Courbes B-spline rationnelles ..................................................................................................... 9 1.2.2.5 Surfaces B-spline rationnelles ..................................................................................................... 9 1.2.2.6 Courbes et surfaces NURBS ..................................................................................................... 10 1.3 Conclusion ............................................................................................................................................ 10 1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1 : Modélisation géométrique. 3 Chapitre I.1 Modélisation géométrique 1.1 Introduction La conception de formes complexes, particulièrement utilisées en aéronautique, et en carrosserie d’automobile, a conduit au développement de modèles mathématiques très variés. L’avènement de l’informatique et de la commande numérique a permis de concevoir et de réaliser des pièces aux formes les plus diverses. De nos jours, tous les systèmes de CFAO utilisent les modèles polynomiaux, et permettent de modéliser les formes les plus complexes. En effet, les avantages offerts par les formes polynomiales, en terme de diversité des formes modélisables, de simplicité des traitements et manipulations et de rapidité de construction, leur confèrent la préférence par rapport aux autres formes mathématiques, telles que les fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques ou autres. Les modèles implémentés dans la grande majorité des systèmes de C.F.A.O utilisent les formes polynomiales paramétriques et ne diffèrent de se fait que dans la base de polynômes utilisés. On retrouve ainsi les polynômes de Bernstein pour le modèle de Bézier, les fonctions splines pour le modèle B-spline, et les polynômes d’Hermite pour le modèle de Coons. L’utilisation de ces modèles sous leur forme rationnelle permet d’en étendre considérablement les propriétés [Léon ‘91], [Bensalah’90]. En effet, sous cette forme, ils permettent une représentation mathématique unique pour toutes les formes géométriques standard telles que les lignes, les coniques, les arcs et cercles, les plans ainsi que les formes libres de courbes et de surfaces. De plus, ils offrent un grand degré de liberté permettant de générer une large variété de formes, tout en vérifiant la propriété de l’invariance affine. Les paragraphes qui suivent présentent d’une façon synthétique les modèles les plus utilisés en CFAO. Nous verrons ainsi les modèles intégraux ensuite les modèles continus par morceaux et cela dans les représentations non rationnelles et rationnelles. 1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1 : Modélisation géométrique. 4 1.2 Classification des modèles 1.2.1 Modèle intégral de Bézier 1.2.1.1 Courbe de Bézier non rationnelle Une courbe de Bézier est une forme polynomiale à base de polynômes de Bernstein. La ieme fonction Bernstein de degré n, notée Bi,n(t), étant définie par : ( ) ( ) B t n i t t i n n i i , ( ) . . =      − − 1 avec n i n i n i     = − ! !.( )! Une courbe de Bézier non rationnelle C(t), de degré n, dont les Pi sont les pôles (Figure 1.1), sera définie par : ( ) ( )  =   = n i i n i t P t B t C 0 , 1 0 Figure 1.1 Courbe de Bézier non rationnelle cubique. De part les propriétés des fonctions de base utilisées, le modèle de Bézier non rationnel possède les caractéristiques géométriques principales suivantes: -Propriétés des frontières : La courbe passe par le premier et le dernier pôle tout en étant tangente au polygone. -Invariance affine : Une transformation affine est appliquée à la courbe si elle est appliquée aux pôles. -Enveloppe convexe : La courbe de Bézier est toujours à l’intérieur du polygone convexe formé par les pôles. -Comportement global : Le déplacement d’un pôle change la forme globale de toute la courbe. Le polygone formé par les Pi représente une approximation globale de la courbe. P0 P3 P2 P1 1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1 : Modélisation géométrique. 5 -Propriété de la variation décroissante: Aucun plan n’a plus d’intersections avec la courbe qu’avec le polygone de contrôle. -Propriété de symétrie: Lorsque nous changeons t en t-1, la courbe est parcourue dans le sens inverse. 1.2.1.2 Surface de Bézier non rationnelle Une surface bi-paramétrique de Bézier non rationnelle de degré m suivant le premier paramètre noté u, et n suivant le second paramètre noté v, dont les Pij représentent le réseau de contrôle, est définie par: ( ) ( )      = 1 0 et 1 0 ) , ( , , v u P v B u B v u S ij n j m i Les fonctions de base de Bernstein étant inchangées, les propriétés des courbes citées ci dessus restent valables. 1.2.1.3 Courbes de Bézier rationnelles La définition du modèle rationnel repose sur le concept de coordonnées homogènes [Léon’91], [de Casteljau’85]. L’application projective notée H représente la relation de passage entre les points de R4 et R3 pour les courbes spatiales, entre les points de R3 et R2 pour les courbes planes.   ( )                 = z y x w w z w y w x w z y x H , , point le rs partant ve ligne la sur infini l' à point un 0 si , , ) , , , ( Une courbe de Bézier rationnelle Ch(t), de degré n, dont les h i P sont les pôles dans R4, sera définie, de la même façon que pour le cas non rationnel, par : ( )  =   = n i h i n i h t P t B t C 0 , 1 0 ) ( La courbe associée dans R3 sera obtenue en appliquant la transformation H. ( ) ( ) ( ) 1 0 ) ( 0 ,         = =  = t P t B H t C H t C n i h i n i h Le polygone h n P étant remplacé par Pn, dont les sommets auront pour coordonnées dans R4: 1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1 : Modélisation géométrique. 6 ( ) n i w z P w y P w x P w wP P i i i i i i i i h i .. 0 . . . =        = = L’expression de C(t) dans R3 sera donc donnée par : ( ) ( ) 1 0 ) ( 0 , 0 ,   =   = = t w t B P w t B t C n j j n j n i i i n i Les propriétés des courbes de Bézier rationnelles sont semblables à celles des courbes non rationnelles. De plus, les poids wi procurent un paramètre de contrôle supplémentaire de la forme de la courbe. En effet, si wi croit la courbe est attirée d’avantage vers le pôle Pi, elle s’en éloigne dans le cas contraire (figure 1.2). La propriété de l’enveloppe convexe se trouve donc conditionnée par les valeurs des wi, et ne reste valable que si ces derniers sont tous positifs [Léon’91]. Figure 1.2 Influence des poids wi sur la forme d’une courbe de Bézier rationnelle. 1.2.1.4 Surfaces de Bézier rationnelles Une surface bi-paramétrique de Bézier rationnelle S(u,v), de degré m en u et n en v, dont les Pij représentent le réseau de contrôle, est définie par: ( ) ( ) ( ) ( )       = =  = = h ij m i n j n j m i h P v B u B H v u S H v u S 0 0 , , , ) , ( soit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   = = = = = m i n j ij n j m i m i n j ij ij n j m i w v B u B P w v B u B v u S 0 0 , , 0 0 , , , P0 P3 P2 P1 w0=1 W1=0,25 W2=1 W3=1 W1=2,25 W1=1 1er Partie : Modélisation géométrique et usinage de surfaces gauches Chapitre 1 : Modélisation géométrique. 7 Les fonctions de base étant inchangées, les propriétés des courbes citées ci- dessus restent valables. 1.2.2 Modèle par morceau B-Spline 1.2.2.1 Fonction de base B-spline Etant donnée une séquence croissante de nombres réels   T t t t t i i m = + 0 1 ,..., , ,..., , la iieme fonction B-spline de degré p notée uploads/s3/ modelisation-geometrique-et-usinage-de-surfaces-gauches.pdf