c ⃝Christophe Bertault - MPSI Notion d’application Dans ce chapitre et tous les

c ⃝Christophe Bertault - MPSI Notion d’application Dans ce chapitre et tous les suivants, les mots « fonction » et « application » désigneront un même objet, conformément au programme. Il se peut cela dit que vous trouviez dans certains ouvrages deux définitions distinctes attachées à ces deux noms. Un bon conseil : n’y prêtez pas attention — sauf si cela vous intéresse particulièrement. En toute rigueur, fonction et application sont bel et bien deux notions distinctes, mais les débutants que vous êtes n’ont nullement besoin de le savoir. Dans tout ce chapitre, E, F, G et H sont des ensembles. 1 Définitions ensemblistes    Explication Avant de définir proprement la notion d’application/fonction, commençons par analyser de façon informelle la fonction racine carrée f : x 7− →√x. • Cette fonction f prend pour arguments des réels ; cela veut dire que quand on écrit f(x), x est un réel. Mais en réalité f n’est pas définie sur R tout entier. Seule la racine carrée des réels positifs est correctement définie. On résume générale- ment cette information en disant que l’ensemble de départ (ou domaine de définition) de f est R+. • Par ailleurs f est à valeurs dans l’ensemble des réels ; cela veut dire que si x appartient au domaine de définition R+ de f, alors f(x) = √x est un réel. On dit que R est l’ensemble d’arrivée de f. Graphe b x f(x) | {z } Ensemble de départ (R+) 8 > > > > < > > > > : Image (R+) 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : Ensemble d’arrivée (R) • Mais en réalité f ne prend pas tout réel pour valeur. L’ensemble des valeurs de f, i.e. l’ensemble des réels de la forme f(x), x décrivant R+, est l’ensemble R+ lui-même : quand x décrit R+, f(x) = √x décrit R+ également. On résume cela en disant que l’image de f est R+. • Pour finir, on a coutume d’identifier une fonction et la courbe qui la représente. La courbe associée à la fonction racine carrée f est l’ensemble des couples x, f(x)  = x, √x  , x décrivant le domaine de définition R+ de f. Plutôt que de la courbe associée à f, on parle généralement du graphe de f. Définition (Application/fonction, ensemble de départ/arrivée, graphe, image) • On appelle application (ou fonction) de E dans F tout triplet f = (E, F, Γ) constitué d’un ensemble E appelé l’ensemble de départ (ou domaine de définition, souvent noté Df) de f, d’un ensemble F appelé ensemble d’arrivée de f et d’une partie Γ de E × F appelée le graphe de f, soumis à la condition suivante : ∀x ∈E, ∃! y ∈F/ (x, y) ∈Γ. • La proposition « (x, y) ∈Γ », qui signifie « (x, y) appartient au graphe de f », sera toujours notée simplement « y = f(x) ». Dans cette écriture, x est appelé un antécédent de y par f et y est appelé l’image de x par f. On peut décrire facilement le graphe de f avec cette notation : Γ = n x, f(x)  o x∈E. • La fonction f sera généralement définie au moyen des notations f :  E − → F x 7− → f(x) ou plus simplement f : x 7− →f(x). • L’ensemble des éléments de l’ensemble d’arrivée de f qui possèdent un antécédent par f est appelé l’image de f et notée Im f. Formellement : Im f = n y ∈F/ ∃x ∈E/ y = f(x) o = n f(x) o x∈E.    Explication • La proposition « ∀x ∈E, ∃! y ∈F/ (x, y) ∈Γ » s’écrit plus simple- ment : ∀x ∈E, ∃! y ∈F/ y = f(x) avec la convention de notation donnée dans la définition. Nous retrouvons là l’idée qu’une fonction f associe à tout élément élément x de son domaine de définition un unique élément y de son ensemble d’arrivée. E F Γ x b ↘ f(x) b←f(x) b ↗ f(x) Ceci n’est pas une fonction : à un x donné sont associées plusieurs valeurs de f(x). 1 c ⃝Christophe Bertault - MPSI • On peut représenter une application de deux façons, classiquement : soit au moyen de « patates » (figure de gauche), soit au moyen d’un graphe (figure de droite). Remarquez bien qu’en général l’image de f est plus petite que son ensemble d’arrivée, car tout élément à l’arrivée ne possède pas forcément un antécédent. E F Im f b x b f(x) f E F ↘ → ↗ Im f Γ = n x, f(x)  o x∈E b c b b c b c b Pour déterminer géométriquement l’image d’une application, on projette son graphe sur l’axe des ordonnées. $ $ $ Attention ! • L’idée selon laquelle il peut y avoir plusieurs antécédents, mais seulement une seule image doit être bien comprise. On parle d’un antécédent et de l’image. • N’allez pas croire qu’une application associe forcément des nombres à d’autres nombres. Dans la définition que nous avons donnée, les ensembles E et F sont quelconques. Par exemple, si E désigne l’ensemble des élèves du lycée à une date fixée et F l’ensemble des couleurs les plus classiques, on peut définir une application f de E dans F qui, à chaque élève, associe la couleur de ses yeux. L’image de cette application sera vraisemblablement l’ensemble n Noir, Marron, Bleu, Vert, Gris o . Par ailleurs, l’élément Rouge de F n’aura pas d’antécédent par f car aucun élève du lycée n’a les yeux rouges. Exemple La fonction f :  R× + − → R x 7− → (ln x)2 a pour image Im f = [0, ∞[. Le réel 1 possède deux antécédents par f : e et 1 e . 1 1 e e Définition (Ensemble des applications/fonctions d’un ensemble dans un autre) L’ensemble des applications de E dans F est noté F E ou F(E, F). $ $ $ Attention ! Ne confondez pas F E et EF ! Définition (Famille) Soit I un ensemble. On appelle famille (d’éléments) de E indexée par I toute application de I dans E. Les familles, au lieu d’être notée comme des applications, sont presque toujours notées sous la forme (xi)i∈I. L’ensemble des familles de E indexée par I est noté EI.    Explication Pourquoi revenir sur la définition de la notion de famille alors que nous l’avons déjà « définie » dans notre chapitre d’introduction ? Nous avons défini une famille comme une suite, mais dans la mesure où n’avons pas défini la notion de « suite », c’est comme si nous n’avions rien fait. Avec la définition d’application que nous avons donnée un peu plus haut, une famille (x1, x2, . . . , xn) d’éléments de E est par définition l’application f de J1, nK dans E définie par les relations : f(1) = x1, f(2) = x2, . . . , f(n) = xn. En résumé, f associe à chaque position l’élément qui lui correspond. 2 Composition Définition (Composition) Soient f : E − →F et g : F − →G deux applications. L’application  E − → G x 7− → g f(x)  est appelée la composée de f suivie de g et notée g ◦f. 2 c ⃝Christophe Bertault - MPSI    Explication E F Im f G Im g b x b f(x) b g f(x)  f g g ◦f $ $ $ Attention ! La composition, en général, n’est possible que dans un seul sens. Et quand elle est possible dans les deux sens, on n’a aucune raison d’avoir f ◦g = g ◦f. Par exemple, la composée de x 7− →x2 suivie de x 7− →sin x est la fonction x 7− →sin(x2), alors que la composée de x 7− →sin x suivie de x 7− →x2 est la fonction x 7− →sin2 x. Or ces fonctions sont différentes ! Définition (Application identique) L’application  E − → E x 7− → x est appelée l’application identique de E et notée IdE. Théorème (Propriétés de la composition) Soient f : E − →F, g : F − →G et h : G − →H trois applications. • Associativité : h ◦ g ◦f  = h ◦g  ◦f. • Elément neutre : IdF ◦f = f ◦IdE = f.    Explication L’application identique est donc une application « transparente ». Quand on la compose avec une autre application, c’est comme si on n’avait rien fait. Démonstration Démontrons seulement l’associativité. Pour tout x ∈E : h ◦ g ◦f  (x) = h  g ◦f(x)  = h  g f(x)   = h ◦g f(x)  = h ◦g  ◦f(x). Et voilà. ■ 3 Restriction et prolongement Définition (Restriction et prolongement) Soit A une partie de E. • uploads/s3/ notion-d-x27-application-ensembles-et-fonctions.pdf

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