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Chapitre 7 Transform´ ee de Fourier discr` ete La transform´ ee de Fourier disc

Chapitre 7 Transform´ ee de Fourier discr` ete La transform´ ee de Fourier discr` ete (DFT) est une m´ ethode qui permet de d´ ecrire un signal discret en termes de fr´ equence, tout comme la transform´ ee de Fourier permet de d´ ecrir un signal continu en termes de fr´ equence. On verra comment se servir de la trans- form´ ee de Fourier discr` ete pour analyser le contenu fr´ equentiel d’un signal discret. ` A la ﬁn du chapitre, on expliquera bri` evement la Transform´ ee de Fourier rapide, la FFT. C’est une m´ ethode beaucoup plus rapide pour calculer la DFT, et c’est l’op´ eration la plus importante en traitement de signal. 7.1 Introduction La transform´ ee de Fourier discr` ete est une m´ ethode pour d´ ecomposer un signal en composantes sinuso¨ ıdales. Pourquoi utiliser des composantes sinuso¨ ıdales, plutˆ ot que des ondes triangulaires ou carr´ ees ? L’avantage des ondes sinuso¨ ıdales est la ﬁd´ elit´ e si- nuso¨ ıdale : si l’entr´ ee d’un syst` eme lin´ eaire est un sinuso¨ ıde, la sortie doit ˆ etre un si- nuso¨ ıde de mˆ eme fr´ equence et de mˆ eme forme (c’est aussi un sinuso¨ ıde ` a la sortie). Seule l’amplitude et la phase peuvent changer. Les sinuso¨ ıdes sont les seules formes d’onde ` a poss´ eder cette propri´ et´ e. Cette propri´ et´ e simpliﬁe ´ enorm´ ement l’analyse et la d´ ecomposi- tion des signaux. La transform´ ee de Fourier continue dit qu’un signal continu peut ˆ etre d´ ecompos´ e en une somme inﬁnie de sinuso¨ ıdes. Pour le cas discret, le nombre de sinuso¨ ıdes n’est pas inﬁni : c’est un chiﬀre ﬁni. La ﬁgure 7.1 montre un exemple de signal discret ` a 10 ´ echantillons. 1 CHAPITRE 7. TRANSFORM ´ EE DE FOURIER DISCR ` ETE 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −20 0 20 40 n Figure 7.1 – Signal ` a d´ ecomposer On peut d´ ecomposer le signal de la ﬁgure 7.1 en 6 cosinus et 6 sinus. Ces ondes sont montr´ ees aux ﬁgures 7.2 et 7.3. Les points en bleu sont les ´ echantillons, tandis que les courbes en rouge sont juste trac´ ees pour montrer que les points appartiennent bien aux sinuso¨ ıdes. Ce n’est peut-ˆ etre pas ´ evident, mais si on fait la somme de ces 12 signaux, on obtient exactement le signal de la ﬁgure 7.1. Chaque cosinus et chaque sinus est de fr´ equence diﬀ´ erente. Il existe quatre termes qui peuvent d´ eﬁnir une transform´ ee de Fourier. Ces quatres termes proviennent du fait qu’un signal peut ˆ etre continu ou discret, et p´ eriodique ou ap´ eriodique. La combination de ces caract´ eristiques donne les quatre termes suivants : 1. Transform´ ee de Fourier : Ceci s’applique aux signaux continus ap´ eriodiques. Ce genre de signal s’´ etend vers l’inﬁni (positif ou n´ egatif) sans se r´ ep´ eter. Un exponen- tiel est un exemple, ou une courbe gaussienne. 2. S´ erie de Fourier : S’applique aux signaux continus p´ eriodiques. Ces signaux se r´ ep` etent avec une p´ eriode ﬁnie. Un sinuso¨ ıde, une onde carr´ ee, une onde triangu- laire sont des exemples de ce genre de signal. 3. Transform´ ee de Fourier ` a temps discret (DTFT) : S’applique aux signaux discrets ap´ eriodiques. 4. Transform´ ee de Fourier discr` ete (DFT) : S’applique aux signaux discrets p´ eriodi- ques. Ce genre de signal se r´ ep` ete avec une p´ eriode ﬁnie. La seule transform´ ee qui s’applique aux probl` emes de traitement du signal est la Transform´ ee de Fourier discr` ete (DFT). Les deux premi` eres transform´ ees sont appliqu´ ees ` a des signaux continus, et donc ne peuvent pas ˆ etre utilis´ ees pour des signaux discrets. Quand ` a la DTFT, elle s’applique ` a des signaux allant de −∞` a +∞, et donc ne peut pas ˆ etre utilis´ ee ici, puisque l’information trait´ ee est toujours de longueur ﬁnie. Il reste donc la DFT. Bien que les signaux r´ eels sont tr` es peu souvent p´ eriodiques, on va les supposer p´ eriodiques pour pouvoir les traiter. Gabriel Cormier 2 GELE2511 CHAPITRE 7. TRANSFORM ´ EE DE FOURIER DISCR ` ETE 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n Figure 7.2 – Composantes cosinuso¨ ıdales 7.2 S´ erie de Fourier discr` ete La DFT peut ˆ etre repr´ esent´ ee sous trois formes : forme r´ eelle, forme complexe (ou exponentielle) et la forme polaire. Certaines formes permettent de simpliﬁer les calculs math´ ematiques, tandis que d’autres permettent de mieux comprendre de la transforma- tion. La Transform´ ee de Fourier discr` ete dans sa forme r´ eelle permet de transformer un signal discret de N ´ echantillons dans le temps en deux signaux de longueur N/2 + 1 dans le domaine de fr´ equence. Le premier signal transform´ e repr´ esente l’amplitude des ondes cosinuso¨ ıdales qui forment le signal discret, tandis que le deuxi` eme signal transform´ e repr´ esente l’amplitude des ondes sinuso¨ ıdales qui forment le signal discret. Le signal ainsi d´ ecompos´ e contient la mˆ eme information que le signal original ; elle est juste sous une autre forme. Si on connaˆ ıt un domaine, on peut calculer l’autre do- maine. Le fait de passer du domaine du temps au domaine de fr´ equence implique la transform´ ee de Fourier directe (ou juste la transform´ ee de Fourier) ; si on passe du do- maine de fr´ equence au domaine du temps, c’est la transform´ ee inverse. Si on connaˆ ıt le Gabriel Cormier 3 GELE2511 CHAPITRE 7. TRANSFORM ´ EE DE FOURIER DISCR ` ETE 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n 0 2 4 6 8 10 −10 0 10 n Figure 7.3 – Composantes sinuso¨ ıdales domaine de fr´ equence, le calcul du domaine du temps est appel´ e la synth` ese ; si on calcul le domaine de fr´ equence, il s’agit de l’analyse. Le nombre d’´ echantillons choisis N est typiquement une puissance de 2 : 128, 256, 512, 1024, etc. Il y a deux raisons pour ceci. Premi` erement, l’information est stock´ ee dans un ordinateur, o` u on utilise le binaire ; les puissances de 2 sont donc un choix naturel. Deuxi` emement, on verra plus loin qu’on peut acc´ el´ erer ´ enorm´ ement le calcul de la DFT si la longueur des ´ echantillons est une puissance de 2 ; c’est la Transform´ ee de Fourier rapide (FFT). Les ´ echantillons vont habituellement de 0 ` a N −1. La notation typique en DSP est d’utiliser des lettres minuscules pour repr´ esenter des signaux en fonction du temps (comme x[ ],y[ ]), et des majuscules pour les signaux en fonction de la fr´ equence (X[ ],Y[ ]). La transform´ ee de Fourier discr` ete est obtenue ` a partir de la s´ erie de Fourier continue, Gabriel Cormier 4 GELE2511 CHAPITRE 7. TRANSFORM ´ EE DE FOURIER DISCR ` ETE qui est : f (t) = ∞ X n=−∞ Cnejnω0t (7.1) o` u les coeﬃcients de la s´ erie sont : Cn = 1 T Z T 0 f (t)e−jnω0t (7.2) On peut transformer les coeﬃcients de la s´ erie continue aux coeﬃcients de la s´ erie discr` ete, en faisant les substitutions suivantes : f (t) →x[n] (le signal devient ´ echantillon- n´ e) ; ω0 →2πf ; t →nts (le temps continu devient un temps discret), dt →ts ; N = T/ts. On obtient alors : XDFS[k] = 1 N N−1 X n=0 x[n]e−j2πkn/N (7.3) C’est la s´ erie de Fourier discr` ete (DFS). La partie r´ eelle des coeﬃcients obtenus repr´ esente l’amplitude des cosinus qui forment le signal original, tandis que la partie imaginaire repr´ esente l’amplitude des sinus qui forment le signal original. Cependant, les coeﬃcients obtenus repr´ esentent aussi les coef- ﬁcients des fr´ equences n´ egatives du signal. On prend un exemple pour d´ emontrer. Soit un signal analogique x(t) = 4cos(100πt). On ´ echantillonne ce signal ` a 2 fois la fr´ equence Nyquist, pour 3 p´ eriodes. La fr´ equence du signal x(t) est 50Hz ; le taux de Ny- quist est 100Hz, et donc on ´ echantillonne ` a S = 200Hz. Le signal et l’´ echantillonnage uploads/s3/ ch7-transformee-de-fourier-discrete.pdf