2014 IUT Brest Morlaix www.iut-brest.fr Mathématique Cours / TD / TP Enseignant

2014 IUT Brest Morlaix www.iut-brest.fr Mathématique Cours / TD / TP Enseignant : Vincent Choqueuse contact : vincent.choqueuse@univ-brest.fr IUT GEII Brest 2 Automne 2014 Liste des TDs 1 Formulaire de Mathématique 5 1 Relations Trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Décomposition en Série de Fourier 11 1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Signaux Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Transformée de Fourier 15 1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Signaux Particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Le produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Travaux Pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 LISTE DES TDS IUT GEII Brest 4 Automne 2014 Chapitre 1: Formulaire de Mathématique 1 Relations Trigonométriques Rappel. Les relations entre le cosinus (resp. sinus) de θ et de −θ sont : cos(θ) = cos(−θ) (1.1) −sin(θ) = sin(−θ) (1.2) Rappel. Les formules d'Euler sont données par les relations suivantes (j2 = −1) : ejθ = cos(θ) + j sin(θ) (1.3) cos(θ) = 1 2  ejθ + e−jθ (1.4) sin(θ) = 1 2j  ejθ −e−jθ (1.5) 2 Dérivées Rappel. Soit k un scalaire, nous obtenons les dérivées suivantes dk dt = 0 (1.6) dt dt = 1 (1.7) det dt = et (1.8) dtk dt = ktk−1 (1.9) d sin(t) dt = cos(t) (1.10) d cos(t) dt = −sin(t) (1.11) Rappel. Soit x(t) et y(t) deux fonctions et k un scalaire. En notant ′ la dérivée par rapport 5 CHAPITRE 1. FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE à t, nous obtenons les relations suivantes : (x(t) + y(t))′ = x′(t) + y′(t) (1.12) (kx(t))′ = kx′(t) (1.13) (x(t)y(t))′ = x′(t)y(t) + x(t)y′(t) (1.14) x(t) y(t) ′ = x′(t)y(t) −x(t)y′(t) y2(t) (1.15)  xk(t) ′ = kx(k−1)(t)x′(t) (1.16)  ex(t)′ = ex(t)x′(t) (1.17) 3 Intégrales Rappel. Soit x(t) et y(t) deux fonctions et k un scalaire, nous obtenons les relations suivantes : Z b a x(t)dt = − Z a b x(t)dt (1.18) Z b a kx(t)dt = k Z b a x(t)dt (1.19) Z b a x(t)dt + Z c b x(t)dt = Z c a x(t)dt (1.20) Z b a (x(t) + y(t))dt = Z b a x(t)dt + Z b a y(t)dt (1.21) Rappel. Soit x(t) et y(t) deux fonctions. En notant ′ la dérivée par rapport à t, la formule de l'intégration par partie (IPP) donne la relation : Z b a x(t)y′(t)dt = [x(t)y(t)]b a − Z b a x′(t)y(t)dt (1.22) 4 Nombres complexes Rappel. Le nombre imaginaire j satisfait la relation j2 = −1 (1.23) Rappel. Un nombre complexe z (z ∈C) peut se décomposer sous la forme : z = a + jb (1.24) où a = ℜe(z) (a ∈R) correspond à la partie réelle de z et où b = ℑm(z) (b ∈R) correspond à sa partie imaginaire. Rappel. Le conjugué d'un nombre complexe z = a + jb, noté z∗, s'exprime en fonction de a et b sous la forme z∗= a −jb (1.25) IUT GEII Brest 6 Automne 2014 CHAPITRE 1. FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE Rappel. Le conjugué de l'exponentielle complexe est égal à :  ejθ∗ = e−jθ (1.26) Rappel. Un nombre complexe z (z ∈C) peut se décomposer sous la forme polaire suivante : z = ρejθ (1.27) où ρ = |z| (ρ ∈R+) correspond au module de z et où θ = φ(z) (θ ∈R) correspond à sa phase (également appelée argument). Module et phase peuvent s'obtenir via les relations : ρ = |z| = √ zz∗= p a2 + b2 (1.28) θ = φ(z) = atan  b a  (attention valeur à π près 1) (1.29) ℜe(z) ℑm(z) b a z θ ρ Figure 1.1  Représentation dans le plan complexe Rappel. Soit z1 et z2 deux nombres complexes, nous obtenons les égalités suivantes : |z1z2| = |z1||z2| (1.30) z1 z2 = |z1| |z2| (z2 ̸= 0) (1.31) φ(z1z2) = φ(z1) + φ(z2) (1.32) φ z1 z2  = φ(z1) −φ(z2) (z2 ̸= 0) (1.33) IUT GEII Brest 7 Automne 2014 CHAPITRE 1. FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE 5 Exercices Exercice 1. Intégration Déterminez les intégrales suivantes : I1 = Z 2 0 (t + 1)(t −2)dt (1.34) I2 = Z 0 −3 (3 + t)e−tdt (1.35) I3 = Z 2 0 t2e−tdt (1.36) Solution. La valeur de I1 s'obtient directement I1 = Z 2 0 (t + 1)(t −2)dt (1.37) = Z 2 0 (t2 −t −2)dt (1.38) = t3 3 −t2 2 −2t 2 0 (1.39) = 8 3 −2 −4  = −10 3 (1.40) Le calcul de I2 nécessite l'utilisation d'une intégration par partie avec : x(t) = 3 + t ⇒ x′(t) = 1 (1.41) y′(t) = e−t ⇒ y(t) = −e−t (1.42) (1.43) Nous obtenons alors : I2 =  −(3 + t)e−t0 −3 + Z 0 −3 e−tdt (1.44) = −3 −  e−t0 −3 (1.45) = −3 −(1 −e3) = −4 + e3 (1.46) Le calcul de I3 nécessite une double intégration par partie. Posons tout d'abord : x(t) = t2 ⇒ x′(t) = 2t (1.47) y′(t) = e−t ⇒ y(t) = −e−t (1.48) (1.49) En utilisant une IPP, nous obtenons : I3 = −  t2e−t2 0 + 2 Z 2 0 te−tdt (1.50) = −  t2e−t2 0 + 2 Z 2 0 te−tdt (1.51) = −4e−2 + 2 Z 2 0 te−tdt (1.52) IUT GEII Brest 8 Automne 2014 CHAPITRE 1. FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUE Posons ensuite u(t) = t ⇒ u′(t) = 1 (1.53) v′(t) = e−t ⇒ v(t) = −e−t (1.54) (1.55) En utilisant une IPP, nous obtenons : I3 = −4e−2 + 2  −  te−t2 0 + Z 2 0 e−tdt  (1.56) = −4e−2 + 2  −2e−2 −  e−t2 0  (1.57) = −4e−2 + 2 −2e−2 − e−2 −1  (1.58) = −10e−2 + 2 (1.59) Exercice 2. Calcul du module et de la phase. Déterminez le module et la phase des nombres complexes suivants : z1 = 15 + 10j (1.60) z2 = −1 + 10j (1.61) uploads/s3/ cours-tf-matlab-pdf.pdf

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