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1 – DS1 [DS1.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008 Devoir surveill´ e de Science

1 – DS1 [DS1.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008 Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n ˚ 1 du 22-09-2007 — Dur´ ee : 4 heures — Probl` eme no 1 – Variom` etre ` a aﬃchage ´ electronique Centrale PC 2006 Ce probl` eme ´ etudie un variom` etre, instrument de mesure de la vitesse verticale d’un engin volant. Cet appareil est indispensable aux pilotes des a´ eronefs sans moteur (planeurs, deltaplanes et parapentes) puisqu’il leur sert ` a d´ etecter les courants d’air ascendants qui permettent ` a ces a´ eronefs de se maintenir en l’air ou de gagner de l’altitude. Lorsqu’un a´ eronef poss` ede une vitesse verticale Vz, un piston se d´ eplace d’une quantit´ e x proportionnelle ` a cette vitesse. On a x = λVz o` u λ est une constante positive. Un capteur comportant 4 condensateurs C1a, C2a, C1b et C2b assimilables ` a des condensateurs plans permet de mesurer le d´ eplacement x du piston et ainsi d’acc´ eder ` a la vitesse Vz. Voir la ﬁgure 1. Au repos, d´ eﬁni par x = 0, les armatures des condensateurs sont toutes distantes de e0, on consid´ erera toujours que le d´ eplacement du piston est petit devant la distance inter-armature : x ≪e0. Les armatures ont une surface en regard S et baignent dans un liquide di´ electrique de permittivit´ e ǫ. Lorsque la distance s´ eparant deux armatures m´ etalliques est e, la capacit´ e du condensateur est C = ǫS/e. z 0 b x C1a C2a C1b C2b armature ﬁxe armature mobile Fig. 1 – Structure du capteur A. ´ Etude du syst` eme de capacit´ es diﬀ´ erentielles 1. D´ eterminer les expressions des capacit´ es variables : C1a, C2a, C1b et C2b en fonction de ǫ, S, e0 et x. 2. Application num´ erique : ǫ = 1, 6 × 10−8 F · m−1, S = 9 cm2 et e0 = 3 mm. Determiner la valeur commune des capacit´ es lorsque x = 0. B. Oscillateur ` a pont de Wien Dans toute cette parie, on supposera les ampliﬁcateurs op´ erationnels id´ eaux, fonctionnant en r´ egime lin´ eaire. 3. On consid` ere le quadrupˆ ole de la ﬁgure 2. Pr´ eciser le mod` ele de l’ampliﬁcateur id´ eal en r´ egime lin´ eaire. D´ eterminer la fonction de transfert F = S/E en fonction de R1 et R2 quand l’ampliﬁcateur op´ erationnel est en r´ egime lin´ eaire. Pr´ eciser les limitations pratiques que l’on peut rencontrer. Tracer la caract´ eristique s(e), c’est-` a-dire le graphe repr´ esentant s en ordonn´ ee en fonction de e en abscisse. b e b b R1 b b R2 b b b - + s Fig. 2 – Ampliﬁcation 4. D´ eterminer la fonction de transfert G = S′/E′ du ﬁltre de Wien de la ﬁgure 3. Pr´ eciser les param` etres caract´ eristiques du ﬁltre (gain maximum, facteur de qualit´ e, pulsation particuli` ere). 5. Tracer les diagramme de Bode (gain et phase) associ´ e ` a G. On fera apparaˆ ıtre sur chacun des graphes le trac´ e asymptotique et le trac´ e r´ eel. Quelle est la fonction de ce quadrupˆ ole ? JR Seigne Fauriel St Etienne Sciences Physiques MP 2007-2008 DS1 [DS1.tex] – 2 b b b R b b C b b b b e′ s′ C R Fig. 3 – Filtre de Wien 6. On couple le ﬁltre de Wien avec le montage ampliﬁcateur, voir la ﬁgure 4. On suppose le r´ egime lin´ eaire toujours ´ etabli. ` A partir des expressions de F et G, montrer qu’il peut th´ eoriquement exister un signal sinuso¨ ıdal sans g´ en´ erateur basse fr´ equence pour une valeur r = R2/R1 et une fr´ equence f ` a d´ eterminer. b b b b b b b b b b b b + - b b b b e′ s′ R C R C R2 R1 b Fig. 4 – Oscillateur 7. En utilisant la relation impos´ ee par l’ampliﬁcateur et l’´ equation diﬀ´ erentielle du ﬁltre de Wien, ´ etablir l’´ equation diﬀ´ erentielle v´ eriﬁ´ ee par s′. Montrer qu’il peut exister un signal sinuso¨ ıdal sans g´ en´ erateur basse fr´ equence. Retrouver les conditions de la question pr´ ec´ edente. Calculer num´ eriquement f si R = 10 kΩet C = 4, 8 nF. 8. En pratique, on ne sait pas r´ ealiser exactement la condition r = R2/R1. ` A partir de l’´ equation diﬀ´ erentielle pr´ ec´ edente, montrer qu’une condition d’apparition des oscillations est r = R2/R1 = n (n entier ` a d´ eﬁnir). Si on choisit R2 = 10 kΩ, les valeurs disponibles dans les catalogues ´ etant 4, 7 kΩ, 5, 6 kΩet 10 kΩ, quelle valeur doit-on prendre pour R1 ? 9. On donne la caract´ eristique d’une diode Zener id´ eale sur la ﬁgure 5 (` a gauche). Pour am´ eliorer le compor- tement du montage, on remplace la r´ esistance R2 par le dipˆ ole AB de la ﬁgure 5 (` a droite) qui comporte deux r´ esistances R2 et R3 et deux diodes Zener tˆ ete bˆ eche. b b i v v i b b b 0 −vZ vD b b R2 b b A B i b b b b R3 b b v Fig. 5 – Am´ elioration du montage Tracer la caract´ eristique v(i) du dipˆ ole AB, c’est-` a-dire le graphe repr´ esentant la tension v en ordonn´ ee en fonction du courant i en abscisse. Pr´ ecisez en fonction de R2, R3, vD, vZ les diﬀ´ erentes pentes et les coordonn´ ees des points particuliers de cette caract´ eristique. 10. En quoi l’introduction du dipˆ ole AB am´ eliore la qualit´ e de l’oscillateur ? JR Seigne Fauriel St Etienne 3 – DS1 [DS1.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008 C. ´ Etude globale du capteur Le capteur complet se compose du syst` eme de condensateurs C1a et C1b de capacit´ e C1 et du syst` eme de condensateurs C2a et C2b de capacit´ e C2. Ces condensateurs sont utilis´ es dans deux oscillateurs sinuso¨ ıdaux ` a pont de Wien qui oscillent respectivement aux pulsations ω1 = 1/RC1 et ω2 = 1/RC2. Soit v1(t) = A cos ω1t le signal issu du premier oscillateur et v2(t) = A cos ω2t le signal issu du second oscillateur. Ces signaux sont trait´ es par un montage ´ electronique comportant un multiplieur qui fournit la tension vm(t) = kmv1(t)v2(t) et une cellule de ﬁltrage R′C′, avec km une constante multiplicative. La tension vC′ aux bornes du condensateur de la cellule R′C′ est alors analys´ ee par un fr´ equencem` etre qui d´ elivre une tension continue VS proportionnelle ` a la fr´ equence f de vC′. On posera VS = γf. Voir la ﬁgure 6. v2 v1 multiplieur b b b b b R′ C′ fr´ equencem` etre VS Fig. 6 – Capteur 11. Comment faut-il choisir le produit τ ′ = R′C′ pour obtenir une tension VS proportionnelle ` a x ? 12. D´ eterminer alors la relation entre VS et la vitesse verticale de l’a´ eronef. Probl` eme no 2 – Analyseur de Fourier simpliﬁ´ e Capes 2006 A. G´ en´ eralit´ es 1. Soit un syst` eme physique qui ` a une grandeur d’entr´ ee fonction du temps e(t) fait correspondre une grandeur de sortie fonction du temps s(t). ` A quelle condition ce syst` eme peut-il ˆ etre dit lin´ eaire ? 2. On ´ etudie exp´ erimentalement plusieurs syst` emes (1, 2 et 3) ` a l’aide d’un analyseur num´ erique. Pour cela on applique ` a leur entr´ ee le mˆ eme signal e(t). On donne ` a la ﬁgure 7 les spectres de Fourier du signal e(t) et ceux des signaux obtenus en sortie des trois syst` emes. Le syst` eme 1 est-il lin´ eaire ? Quel est son rˆ ole ? f( kHz) amplitude Spectre de e(t) 1 2 3 4 5 f( kHz) amplitude Spectre de s1(t) 1 2 3 4 5 f( kHz) amplitude Spectre de s2(t) 1 2 3 4 5 f( kHz) amplitude Spectre de s3(t) 1 2 3 4 5 Fig. 7 – ´ Etude des syst` emes 1, 2 et 3 3. Qu’en est-il des syst` emes 2 et 3 ? On utilise des dipˆ oles lin´ eaires en r´ egime sinuso¨ ıdal. On note u(t) = U √ 2 cos(ωt + ϕu) la tension aux bornes d’un dipˆ ole et i(t) = I √ 2 cos(ωt + ϕi) l’intensit´ e du courant qui traverse le dipˆ ole, u(t) et i(t) sont d´ eﬁnis en convention r´ ecepteur. 4. Donner l’expression des amplitudes complexes associ´ ees ` a la tension et ` a l’intensit´ e. ´ Etablir l’expression de l’imp´ edance Z complexe associ´ ee ` a chacun des dipˆ oles suivant : r´ esistance pure, capacit´ e pure, inductance pure. 5. On mesure uploads/s3/ ds1-electrocinetique 1 .pdf