A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 171
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A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 171
 * ! %   A la fin de ce chapitre, tu dois être capable de : • Définir a, connaître les propriétés (en particulier les conditions d’existence des racines) • Expliquer la différence entre les nombres rationnels et irrationnels. • Estimer l’ordre de grandeur d’un irrationnel. • Simplifier une racine. • Calculer la racine carrée d’un nombre. • Calculer la racine cubique d’un nombre. • Calculer la racine carrée d’un produit. • Calculer la racine carrée d’un quotient. A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 172 A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 173 A. Introduction a) CONSTRUIS un carré de 2cm de côté. CONSTRUIS un autre carré dont l’aire est le double de celle du précédent. ÉVALUE la longueur du côté du second carré et JUSTIFIE. b) Le grand carré représenté ci-dessous a une aire de 1m2. 1) CHERCHE l’aire du carré grisé : ................................................................................... 2) CHERCHE la longueur du côté du carré grisé. ................................................................................... B. Théorie a) Rappels : • Nombres naturels : 0, 1, 2, 3, … • Nombres entiers : … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … • Les fractions • Les nombres décimaux
LES NOMBRES RATIONNELS contiennent les fractions positives et négatives, les entiers positifs et négatifs, les nombres décimaux limités et illimités périodiques. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous forme de ................................
LES NOMBRES IRRATIONNELS contiennent les nombres décimaux illimités non périodiques. L’ensemble des nombres RATIONNELS et IRRATIONNELS forme les nombres ........................................... A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 174 b) Interprétation graphique : y = x2 : 1) DÉTERMINE le carré des nombres suivants : 0, -3, 2, RB, -R@ ...................................................................................................................................................................... 2) DÉTERMINE la racine carrée positive et la racine carrée négative des nombres suivants : 0, 9, 4, 3 et -3. ...................................................................................................................................................................... c) Définition : La racine carrée positive d’un nombre positif a, notée a, est le nombre positif x dont le carré vaut ................... a étant un nombre positif, a = x ⇔ x2 = a et x est un positif. Exemples : 4 = 2 car 22 = 4 6,25 = 2,5 car 2,52 = 6,25 A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 175 C. Vocabulaire et remarques a) Vocabulaire : Dans l’expression a, a est appelé le ................................. et R est le .................................. b) Remarques : 1) Un nombre positif admet deux racines carrées opposées. Exemples : La racine carrée positive de 36 s’écrit 36 et vaut 6. La racine carrée négative de 36 s’écrit - 36 et vaut -6 2) Un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée réelle. Exemple : -81 n’a pas de racine carrée réelle, car il n’existe pas de nombre réel a tel que a2 = -81 3) Le radical doit couvrir tout le radicand. 4) Le nombre 0 admet une racine carrée qui est 0. D. Valeur approchée d’une racine carrée a) Vocabulaire : Dans certains cas, il est impossible de donner la valeur exacte d’une racine carrée, on ne peut alors en donner qu’une valeur approchée. Encadrer un nombre x c’est le situer entre deux autres nombres.
Un nombre plus petit que x, appelé valeur approchée par défaut.
Un nombre plus grand que x, appelé valeur approchée par excès. b) Marche à suivre : Pour rechercher une valeur approchée d’une racine carrée, on encadre cette racine successivement dans des intervalles de plus en plus petits : à l’unité près, au dixième près, au centième près… Donne une valeur approchée de 34 On situe le nombre à l’intérieur du radical entre les deux carrés parfaits les plus proches, puis on situe la racine carrée entre les deux racines carrées connues. 25 < 34 < 36 5< 34 < 6 On situe le nombre à l’intérieur du radical entre les carrés des nombres (avec un chiffre après la virgule) les plus proches puis on situe la racine entre ces deux nombres. 5,82 = 33,64 < 34 < 34,81 = 5,92 5,8 < 34 < 5,9 On continue de la sorte pour obtenir une approximation de plus en plus précise. 5,832 = 33,9889 < 34 < 34,1056 = 5,842 5,83 < 34 < 5,84 A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 176 E. Propriétés des racines carrées a) Racine carrée d’un produit : La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit de leurs racines carrées. ab = a . b Exemple : 36 = b) Racine carrée d’un quotient : La racine carrée du quotient de deux nombres positifs est égale au quotient de leurs racines carrées. S ! # = R! R# Exemple : S >Q T = Remarque : Par convention, on ne garde jamais de radicaux au dénominateur d’une fraction, on doit rendre le dénominateur rationnel. Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par le radical qui doit disparaitre. Exemple : 2 5 = c) Racine carrée d’une puissance : La racine carrée est l’opération inverse du carré. (ils s’annulent mutuellement) RU = a Exemple : RM = A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 177 F. Opérations sur les radicaux a) Simplifier : Pour calculer les radicaux, on peut utiliser la calculatrice et donner une réponse sous forme d’un nombre décimal illimité. On donnera alors une valeur approchée de cette réponse. Il est souvent demandé de donner un résultat précis et non approché. Dans ce cas il est souhaitable de SIMPLIFIER les radicaux.
Pour simplifier une racine carrée, il faut faire apparaître sous la racine des facteurs carrés parfaits afin de les extraire ensuite de la racine. Marche à suivre : 1) On décompose le radicand pour faire apparaître les éventuels carrés parfaits, si nécessaire, on décompose le nombre en facteurs premiers. 2) On applique les règles de calcul du produit des radicaux. Exemples : 324 = 504 = b) Additionner ou soustraire : Marche à suivre : 1) On simplifie au maximum les radicaux. 2) On additionne (soustrait) les coefficients des radicaux identiques. Exemple : 50 + 18 + 12 = 5 2 + 3 2 + 2 3 = 8 2 + 2 3 A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 178 G. Racine cubique a) Introduction : Monsieur Dupont vient d’acheter un restaurant. La cuisine cubique a un volume de 64m³. AIDE Monsieur Dupont a déterminé le côté de sa cuisine car il aimerait la carreler. b) Définition :
Calculer un volume revient à utiliser la fonction cube. Sa fonction inverse est appelée la fonction racine cubique. La racine cubique positive d’un nombre a, notée RU 3 , est le nombre positif x dont le cube vaut a. a étant un réel, RU 3 = x V x³ = a Exemples : R@W 3 = 3 car 3³ = 27 RHF@ 3 = 8 car 8³ = 512 c) Remarques : 1) Contrairement à la racine carrée, on peut calculer la racine cubique d’un nombre négatif. Exemple : RXY 3 = -2 car (-2)³ = -8 2) Les propriétés des racines carrées sont aussi valables pour les racines cubiques. d) Applications : SIMPLIFIE les racines cubiques suivantes : RFZY 3 = RMZ 3 = R@FG 3 = RFBMM 3 = RFWHZ 3 = A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 179 H. Exercices a) CALCULE les racines suivantes : 1) 49 = 2) 1,21 = 3) 0,49 = 4) 1 = 5) S T $ = 6) 0,01 = 7) 16 = 8) 4 + 12 = 9) -36 = 10) 5RB7 = 11) [8F@OB9 = 12) 0,16 = 13) RB = 14) 5@RH7 = 15) [8XBO@9 = 16) - 0,81 = 17) 5XRB7 = 18) 5XRU7 = 19) 16 – 3 . 4 = 20) RFG X B'" M = 21) [8H X @9 \ FG : (-5) = 22) RB@ ] @ - RF \ MH ] B = 23) R L-2P- RLO>Q = b) ENCADRE mentalement par des nombres entiers : ........................ < 90 < ...................... ........................ < 45 < .................... ........................ < 12 < ...................... ........................ < 474 < .................. ........................ < 104 < .................... ........................ < 250 < .................. c) ENCADRE avec ta calculatrice : Au 0,1 près ......................... < 1265 <..................... Au 0,01 près ......................... < 896 <....................... A.R.Ans – 3ème année UAA 5 : Outils algébriques 180 d) SIMPLIFIE les radicaux : 1) 128 = 2) 180 = 3) 242 = 4) 245 = 5) 162 = 6) 150 = 7) 250 = 8) 100000 = e) SIMPLIFIE en utilisant les propriétés : 1) 6 . 2 . 3 = 2) 18 . 6 . 3 = 3) 2 5 . 50 . 8 = 4) 12 . 3 . 18 = 5) R$P'"''R E'"''RQ R L'"''R L = f) SIMPLIFIE les radicaux, puis CALCULE les sommes et les différences suivantes : 1) R@Z \ RMH = 2) RF@ uploads/s3/ chap-5.pdf

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• Publié le Mar 21, 2021
• Catégorie Creative Arts / Ar...
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