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1 sur 7 NOTION DE FONCTION Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/E4SY8_L-DT

1 sur 7 NOTION DE FONCTION Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/E4SY8_L-DTA I. Vocabulaire et notations 1. Exemple d’introduction : Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle. On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle. a) Calculer l'aire du rectangle lorsque x = 3 cm. Si la longueur est égale à 3 cm alors la largeur est égale à 2 cm. Donc A = 3 x 2 = 6 cm2. b) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle. Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 – x. En effet : P = 2x + 2(5 – x) = 2x + 10 – 2x = 10 cm. Ainsi l’aire du rectangle s’exprime par la formule A = x(5 – x) c) Développer A. A = x(5 – x) = 5x – x d) On peut calculer l’aire du rectangle pour différentes valeurs de x : x 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Aire 4 5,25 6 6,25 6 5,25 4 2,25 Ce tableau est appelé un tableau de valeurs. Pour chaque nombre x, on a fait correspondre un nombre égal à l’aire du rectangle. Par exemple : 1 ⟼ 4 2 ⟼ 6 De façon générale, on note : A : x ⟼ 5x – x x ⟼ 5x – x se lit « à x, on associe 5x – x » A est appelée une fonction. C’est une « machine » mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr x 5 – x A 2 sur 7 ⟼ nombre de départ nombre correspondant L’expression A dépend de la valeur de x et varie en fonction de x. x est appelée la variable. On note ainsi : A(x) = 5x – x A(x) se lit « A de x ». Dans toute la suite, la fonction A sera notée f. On aura ainsi : f (x )=5 x−x 2 2. Définitions Définitions : Soit D une partie de l’ensemble des nombres réels ℝ. Une fonction f définie sur D associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel, noté f (x). D est appelé l’ensemble de définition de la fonction f. On note : f : D → ℝ x ⟼ f (x) Et on lit : « La fonction f, déﬁnie pour x appartenant à D, qui à un nombre x associe le nombre f (x). » 3. Image, antécédent Exemples : Pour la fonction f définie plus haut, on avait : f (2,5) = 6,25 f (1) = 4 On dit que : - l’image de 2,5 par la fonction f est 6,25. 2,5 ⟼ 6,25 - un antécédent de 6,25 par f est 2,5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 5x – x x Image de 2,5 Antécédent de 6,25 3 sur 7 Remarques : - Un nombre possède une unique image. - Cependant, un nombre peut posséder plusieurs antécédents. Par exemple : des antécédents de 5,25 sont 1,5 et 3,5 (voir tableau de valeurs). Méthode : Calculer une image ou un antécédent Vidéo https://youtu.be/8j_4DHWnRJU Vidéo ht tps://youtu.be/X0oOBo65YpE Soit la fonction g définie par g(x) = √x+1 1) Compléter le tableau de valeurs : 2) Compléter alors : a) L’image de 4 par g est … b) Un antécédent de 5 par g est … c) g : … ⟼4,2 d) g(20,25) = … 3) Calculer g(4,41) et g(1310,44) 1) 2) a) L’image de 4 par g est 3. b) Un antécédent de 5 par g est 16. c) g : 10,24 ⟼4,2 d) g(20,25) = 5,5 3) g(4,41) = √4,41+1 = 3,1 g(1310,44) = √1310,44+1 = 37,2 II. Représentation graphique 1. Courbe représentative Exemple : Représenter les données du tableau de valeurs du paragraphe I. dans un repère tel qu’on trouve en abscisse la longueur du côté du rectangle et en ordonnée son aire correspondante. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr x 4 10,24 16 20,25 √x+1 x 4 10,24 16 20,25 √x+1 3 4,2 5 5,5 4 sur 7 En reliant les points, on obtient une courbe C. Tout point de la courbe C possède donc des coordonnées de la forme (x ; f(x)). On peut ainsi affirmer que l’ensemble des points de coordonnées (x; y ) avec y=f (x ) définissent la courbe représentative de la fonction f. On dira que y=f (x ) est l’équation de la courbe. Définition : La courbe d’équation y=f (x ) est l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x; y ) vérifient y=f (x ). En latin, « curbus » désignait ce qui est courbé. On retrouve le mot en ancien français sous la forme de « corbe ». Le corbeau est ainsi appelé à cause de la forme de son bec. 2. Courbe représentative à l’aide d’un logiciel Ouvrir le logiciel GeoGebra et saisir directement l’expression de la fonction f. Dans la barre de saisie, on écriera : f(x)=5x-x^2 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr C x f(x) (4 ; f(4)) exemple 5 sur 7 La courbe représentative de la fonction f dépasse les limites du problème. En effet, l’expression de la fonction f accepte par exemple des valeurs négatives de x, ce que les données du problème rejettent puisque x représente une longueur ! On peut ainsi dresser un tableau de signes de la fonction f sur un intervalle plus grand : x -1 0 5 6 f (x) - 0 + 0 - Vidéo https://youtu.be/8cytzglu8yc 3. Résolution graphique d’équations et d’inéquations Méthode : Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type f(x)=k, f(x)<k Vidéo https://youtu.be/FCUd2muFEyI Vidéo https://youtu.be/3_6LcpumUh4 Répondre graphiquement aux questions suivantes : a) Résoudre l'équation 5x – x = 2. b) En déduire un ordre de grandeur des dimensions d’un rectangle dont l’aire est égale à 2 cm. c) Résoudre graphiquement l’inéquation 5x – x > 2. Donner une interprétation du résultat. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 6 sur 7 a) Il s’agit de trouver les antécédents de 2 par la fonction f. Ce qui revient à résoudre l’équation f (x) = 2. On détermine les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec la droite ∆ parallèle à l’axe des abscisses passant par le point (0 ; 2). On lit graphiquement que l’équation 5x – x = 2 admet pour solutions : les nombres 0,5 et 4,5. b) Le rectangle de dimensions 0,5 cm sur 4,5 cm possède une aire environ égale à 2 cm. c) Résoudre l’inéquation 5x – x > 2 revient à déterminer les abscisses des points de C pour lesquels C est strictement au-dessus la droite Δ. On lit graphiquement que l’inéquation 5x – x > 2 admet pour solutions tous les nombres de l’intervalle ]0,5 ; 4,5[. Si une dimension du rectangle est strictement comprise entre 0,5 et 4,5 alors son aire est supérieure à 2. Remarques : a) Par lecture graphique, les solutions obtenues sont approchées. b) L’équation f(x) = 7 n’a pas de solution car dans ce cas la droite Δ ne coupe pas la courbe. c) Graphiquement, on ne peut pas être certain que les solutions qui apparaissent sont les seules. Il pourrait y en avoir d’autres au-delà des limites de la représentation graphique tracée. Méthode : Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type f(x)=g(x), f(x)<g(x) Vidéo https://youtu.be/nwdv78G1kII On considère les fonctions f et g définie sur R par f (x )=x 2+2 et g (x )=−x 2+3x+2. Répondre graphiquement aux questions suivantes : a) Résoudre l'équation f (x )=g (x ). b) Résoudre l'inéquation f (x )<g (x ). Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 0,5 4,5 ∆ 7 sur 7 A l’aide d’un logiciel ou d’une calculatrice graphique, on trace les courbes représentatives des fonctions f et g. a) Aux points où les courbes se croisent, les fonctions renvoient la même image soit f (x )=g (x ). Pour déterminer graphiquement les solutions de l’équation f (x )=g (x ), il suffit de lire l’abscisse des points d’intersection des deux courbes. On lit graphiquement que l’équation f (x )=g (x ) admet pour solutions : les nombres 0 et 1,5. b) Pour déterminer graphiquement les solutions de l’inéquationf (x )<g (x ), il suffit de lire sur l’axe des abscisses l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la courbe de g se trouve au-dessus de la courbe de f. On lit graphiquement que l’inéquation f (x )<g (x ) admet pour ensemble solution l’intervalle ¿0;1,5¿. Les valeurs 0 et 1,5 sont exclues de l’ensemble des solutions car dans l’inéquation f (x )<g (x ) l’inégalité est stricte. Les solutions (0 et 1,5) de l’équation f (x )=g (x ) ne sont donc pas acceptées. ALGORITHME TP avec Python : Calcul de la longueur approchée d’une portion de courbe représentative d’une fonction https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_LongCourbe.pdf Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même uploads/s3/ 19-fonction-notion-m.pdf