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Polynˆ omes Driss KARIM FSTM Universit´ e Hassan II - Casablanca 2020 - 2021 D.

Polynˆ omes Driss KARIM FSTM Universit´ e Hassan II - Casablanca 2020 - 2021 D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 1 / 13 Plan 1 Introduction 2 Op´ erations sur les polynˆ omes 3 Division euclidienne des polynˆ omes D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 2 / 13 I Introduction On notera K l’un des deux corps R ou C. D´ eﬁnition On appelle monˆ ome, une expression du type axn, o` u n est un entier naturel, a une constante r´ eelle et x un nombre r´ eel. On appellera degr´ e le nombre n et coeﬃcient du monˆ ome le nombre a D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 3 / 13 I Introduction On notera K l’un des deux corps R ou C. D´ eﬁnition On appelle monˆ ome, une expression du type axn, o` u n est un entier naturel, a une constante r´ eelle et x un nombre r´ eel. On appellera degr´ e le nombre n et coeﬃcient du monˆ ome le nombre a D´ eﬁnition Un polynˆ ome P de degr´ e n ∈N∗` a coeﬃcients dans K est d´ etermin´ e par la donn´ ee de a0, a1, . . . , an ∈K avec an ̸= 0. On ´ ecrit alors P sous la forme P(X) = anX n + an−1X n−1 + · · · + a1X + a0 = Pn k=0 akX k. Dans cette ´ ecriture, X est un symbole appel´ e ind´ etermin´ ee. D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 3 / 13 I Introduction On notera K l’un des deux corps R ou C. D´ eﬁnition On appelle monˆ ome, une expression du type axn, o` u n est un entier naturel, a une constante r´ eelle et x un nombre r´ eel. On appellera degr´ e le nombre n et coeﬃcient du monˆ ome le nombre a D´ eﬁnition Un polynˆ ome P de degr´ e n ∈N∗` a coeﬃcients dans K est d´ etermin´ e par la donn´ ee de a0, a1, . . . , an ∈K avec an ̸= 0. On ´ ecrit alors P sous la forme P(X) = anX n + an−1X n−1 + · · · + a1X + a0 = Pn k=0 akX k. Dans cette ´ ecriture, X est un symbole appel´ e ind´ etermin´ ee. L’ensemble des polynˆ omes ` a coeﬃcients r´ eels est not´ e R[X]. L’ensemble des polynˆ omes ` a coeﬃcients complexes est lui not´ e C[X]. D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 3 / 13 Vocabulaire Remarque Une constante a ̸= 0 est appel´ ee polynˆ ome de degr´ e 0. La constante 0 est appel´ ee polynˆ ome nul. On fait la convention que son degr´ e vaut −∞. Le degr´ e d’un polynˆ ome P est not´ e doP ou parfois deg(P) D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 4 / 13 Vocabulaire Remarque Une constante a ̸= 0 est appel´ ee polynˆ ome de degr´ e 0. La constante 0 est appel´ ee polynˆ ome nul. On fait la convention que son degr´ e vaut −∞. Le degr´ e d’un polynˆ ome P est not´ e doP ou parfois deg(P) D´ eﬁnition On appelle fonction polynˆ ome, toute fonction dont l’expression peut s’´ ecrire comme une somme de monˆ omes. On nommera degr´ e du polynˆ ome, le degr´ e le plus haut des diﬀ´ erents monˆ omes de coeﬃcient non nul L’ensemble de tous les polynˆ omes est not´ e K[X] D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 4 / 13 Vocabulaire Remarque Une constante a ̸= 0 est appel´ ee polynˆ ome de degr´ e 0. La constante 0 est appel´ ee polynˆ ome nul. On fait la convention que son degr´ e vaut −∞. Le degr´ e d’un polynˆ ome P est not´ e doP ou parfois deg(P) D´ eﬁnition On appelle fonction polynˆ ome, toute fonction dont l’expression peut s’´ ecrire comme une somme de monˆ omes. On nommera degr´ e du polynˆ ome, le degr´ e le plus haut des diﬀ´ erents monˆ omes de coeﬃcient non nul L’ensemble de tous les polynˆ omes est not´ e K[X] Pour tout n ∈N, on note Kn[X] = {P ∈K[X], doP ≤n}. Exemple f (x) = πx4 + 4x2 + 2x −4 D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 4 / 13 Vocabulaire Remarque Une constante a ̸= 0 est appel´ ee polynˆ ome de degr´ e 0. La constante 0 est appel´ ee polynˆ ome nul. On fait la convention que son degr´ e vaut −∞. Le degr´ e d’un polynˆ ome P est not´ e doP ou parfois deg(P) D´ eﬁnition On appelle fonction polynˆ ome, toute fonction dont l’expression peut s’´ ecrire comme une somme de monˆ omes. On nommera degr´ e du polynˆ ome, le degr´ e le plus haut des diﬀ´ erents monˆ omes de coeﬃcient non nul L’ensemble de tous les polynˆ omes est not´ e K[X] Pour tout n ∈N, on note Kn[X] = {P ∈K[X], doP ≤n}. Exemple f (x) = πx4 + 4x2 + 2x −4 sera une fonction polynˆ ome de degr´ e 4 Le coeﬃcient de son terme de degr´ e 3 est 0, et celui du terme de degr´ e 2 est 4 D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 4 / 13 Exemples Exercice Soit le polynˆ ome P(x) = −7x5 + x4 2 −5x2 + 12x −3 1 Quel est son degr´ e ? 2 Quel est le coeﬃcient du terme de degr´ e 2 ? de degr´ e 1 ? de degr´ e 4 ? de degr´ e 3 ? 3 Quel est le terme constant ? D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 5 / 13 Exemples Exercice Soit le polynˆ ome P(x) = −7x5 + x4 2 −5x2 + 12x −3 1 Quel est son degr´ e ? 2 Quel est le coeﬃcient du terme de degr´ e 2 ? de degr´ e 1 ? de degr´ e 4 ? de degr´ e 3 ? 3 Quel est le terme constant ? Exercice Mˆ eme questions pour le polynˆ ome Q(x) = 6x4 −x2 + 3x −2 D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 5 / 13 II Op´ erations les polynˆ omes ´ Egalit´ e. D´ eﬁnition Soient P = anX n + an−1X n−1 + · · · + a1X + a0 et Q = bmX m + bm−1X m−1 + · · · + b1X + b0 deux polynˆ omes ` a coeﬃcients dans K. P = Q ⇐ ⇒ m = n et ∀i ai = bi et on dit que P et Q sont ´ egaux. D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 6 / 13 II Op´ erations les polynˆ omes Addition. D´ eﬁnition Soit deux polynˆ omes P(X) = pnX n + · · · + p1X + p0 Q(X) = qmX m + · · · + q1X + q0. On d´ eﬁnit alors le polynˆ ome somme P + Q par (P + Q)(X) = (pn + qn)X n + · · · + (p1 + q1)X + (p0 + q0) D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 7 / 13 II Op´ erations les polynˆ omes Addition. D´ eﬁnition Soit deux polynˆ omes P(X) = pnX n + · · · + p1X + p0 Q(X) = qmX m + · · · + q1X + q0. On d´ eﬁnit alors le polynˆ ome somme P + Q par (P + Q)(X) = (pn + qn)X n + · · · + (p1 + q1)X + (p0 + q0) Remarque Soient P et Q deux polynˆ omes. Alors deg(P + Q) ≤sup(deg P, deg Q) Etant donn´ e deux nombres r´ eels a, b, on note sup(a, b) le plus grand des deux. D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 7 / 13 II Op´ erations les polynˆ omes Addition. D´ eﬁnition Soit deux polynˆ omes P(X) = pnX n + · · · + p1X + p0 Q(X) = qmX m + · · · + q1X + q0. On d´ eﬁnit alors le polynˆ ome somme P + Q par (P + Q)(X) = (pn + qn)X n + · · · + (p1 + q1)X + (p0 + q0) Remarque Soient P et Q deux polynˆ omes. Alors deg(P + Q) ≤sup(deg P, deg Q) Etant donn´ e deux nombres r´ eels a, b, on note sup(a, b) le plus grand des deux. L’in´ egalit´ e peut ˆ etre stricte : (1 + X + X 2) + (2 −X 2) = 3 + X. D. KARIM (FSTM) Alg` ebre: Chapitre 2 2020 - 2021 7 / 13 Op´ uploads/s3/ chap2-polynome.pdf