Second degr´ e 1` ereS I - R´ esolution de l’´ equation du second degr´ e D´ efi

Second degr´ e 1` ereS I - R´ esolution de l’´ equation du second degr´ e D´ efinition Une ´ equation du second degr´ e, ` a une inconnue x, est une ´ equation qui peut s’´ ecrire sous la forme ax2 + bx + c = 0, o` u a, b, et c sont trois nombres r´ eels donn´ es, et a ̸= 0. P(x) = ax2 + bx + c est une fonction polynˆ ome, ou trinˆ ome, du second degr´ e. R´ esoudre l’´ equation P(x) = ax2 + bx + c = 0, c’est trouver tous les nombres r´ eels x tels que P(x) = ax2 + bx + c = 0. Un tel nombre est dit solution de l’´ equation P(x) = 0 ou encore racine du polynˆ ome P(x). Exemple : P(x) = 3x2 −2x + 4 est un trinˆ ome du second degr´ e, avec a = 3, b = −2 et c = 4. Q(x) = −x2 + 16 est un trinˆ ome du second degr´ e, avec a = −1, b = 0 et c = 16. Exercice 1 R´ esoudre les ´ equations du second degr´ e : a) x2 −9 = 0 b) 2x2 + 3x = 0 c) (x + 3)2 −4 = 0 d) −3(x −1)(x + 2) = 0 e) 2x2 + 3 = 0 Exercice 2 • R´ esolution de (E1) : x2 + 2x −8 = 0. Compl´ eter : x2 + 2x = (x + . . . )2 + . . . , puis r´ esoudre (E1). • R´ esolution de (E2) : x2 + 4x + 5 = 0. Compl´ eter : x2 + 4x + 5 = (x + . . . )2 + . . . , puis r´ esoudre (E2). • R´ esolution de (E3) : 2x2 −x −3 = 0. Compl´ eter : 2x2 −x −3 = 2 h . . . i = 2 h (x + . . . )2 + . . . i , puis r´ esoudre (E3). Cas g´ en´ eral R´ esolution de l’´ equation P(x) = ax2 + bx + c = 0, a ̸= 0. P(x) = a  x2 + b ax + c a  = a " x + b 2a 2 −  b 2a 2 + c a # = a " x + b 2a 2 −b2 4a2 + c a # = a " x + b 2a 2 −b2 4a2 + 4ac 4a2 # = a " x + b 2a 2 −b2 −4ac 4a2 # Cette expression s’appelle la forme canonique du polynˆ ome P. On pose ∆= b2 −4ac, et on a donc, P(x) = a " x + b 2a 2 −∆ 4a2 # Y. Morel xymaths.free.fr/Lycee/1S/ Second degr´ e - 1/6 Si ∆< 0 , alors ∆ 4a2 < 0, et donc, −∆ 4a2 > 0, d’o` u, pour tout x ∈I R,  x + b 2a 2 −∆ 4a2 > 0. L’´ equation P(x) = 0 n’a donc aucune solution. Si ∆= 0 , alors P(x) = a  x + b 2a 2 , et l’´ equation P(x) = a  x + b 2a 2 = 0 admet une unique solution x = −b 2a. Si ∆> 0 , alors √ ∆existe et, ∆= √ ∆ 2 , et donc, ∆ 4a2 = √ ∆ 2a !2 , et, P(x) = a " x + b 2a 2 −  ∆ 2a 2# = a  x + b 2a + ∆ 2a   x + b 2a −∆ 2a  = a x + b + √ ∆ 2a ! x + b − √ ∆ 2a ! On pose x1 = −b + √ ∆ 2a = −b − √ ∆ 2a , et, x2 = −b − √ ∆ 2a = −b + √ ∆ 2a , et on a alors : P(x) = a(x −x1)(x −x2) et donc, l’´ equation P(x) = ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions distinctes, x1 et x2. D´ efinition Le nombre ∆= b2 −4ac s’appelle le discriminant du trinˆ ome du second degr´ e P(x) = ax2 + bx + c. Exercice 3 Calculer le discriminant des trinˆ omes : a) P(x) = x2 + x + 1 b) Q(x) = 3x2 −2x + 1 c) R(x) = −x2 + 3x −1 d) S(x) = −x2 −2x + 10 e) T(x) = −3x2 −x + 2 f) U(x) = x2 −2x + 1 Th´ eor` eme • Si ∆< 0, le trinˆ ome n’a pas de racine ; • Si ∆= 0, le trinˆ ome a une racine ”double” x0 = −b 2a, et le trinˆ ome se factorise suivant P(x) = a(x −x0)2. • Si ∆> 0, le trinˆ ome admet deux racines distinctes : x1 = −b − √ ∆ 2a et, x2 = −b + √ ∆ 2a et le trinˆ ome se factorise suivant P(x) = a(x −x1)(x −x2). Exercice 4 R´ esoudre P(x) = 0, avec : a) P(x) = x2 −3x + 4 b) P(x) = 3x2 −7 2x + 49 48 c) P(x) = 3x2 −x −4 d) P(x) = 3x2 −27 e) P(x) = 6x2 −24x f) P(x) = 3x2 −12 + (x −2)(x + 3) Exercice 5 Factoriser les expressions suivantes : a) x2 −3x + 2 b) x2 −7x + 10 c) 2x2 −5x + 2 d) −3x2 + 4x + 4 e) −1 2x2 −1 2x + 1 Y. Morel xymaths.free.fr/Lycee/1S/ Second degr´ e - 2/6 Exercice 6 1. D´ eterminer un trinˆ ome du second degr´ e admettant 2 et −5 comme racines. 2. D´ eterminer la fonction trinˆ ome du second degr´ e f v´ erifiant les conditions suivantes : f(2) = 0, f(−3) = 0 et f(1) = 4. Exercice 7 R´ esoudre les ´ equations : a) x4 −3x2 + 2 = 0 b) 2x4 + 9x2 + 4 = 0 c) 2|x|2 −5|x| −12 = 0 d) x2 −1 x2 = 12 Exercice 8 Soit le polynˆ ome P(x) = x4 + 6x3 −11x2 −60x + 100 . 1. D´ eterminer trois r´ eels a, b et c tels que la fonction trinˆ ome du second degr´ e Q(x) = ax2 +bx+c v´ erifie la relation : P(x) = (Q(x))2 2. R´ esoudre alors l’´ equation P(x) = 0. 3. a) Trouver trois r´ eels a, b, c tels que x3 + 6x2 + 6x + 5 = (x + 5)(ax2 + bx + c) . b) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de la fonction rationnelle f suivante et la simplifier f(x) = x4 + 6x3 −11x2 −60x + 100 x3 + 6x2 + 6x + 5 . II - In´ equation du second degr´ e Exemple : Factoriser puis d´ eterminer le signe du trinˆ ome du second degr´ e de : P(x) = 2x2−6x+4. Soit P(x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0 un trinˆ ome du second degr´ e, alors, • si ∆< 0, alors P(x) = a       x + b 2a 2 | {z } ⩾0 −∆ 4a2 | {z } >0      | {z } >0 est toujours du signe de a. • si ∆= 0, alors P(x) = a (x −x0)2 est toujours du signe de a, et P(x) = 0 pour x = x0 = −b 2a. • si ∆> 0, alors P(x) = a(x −x1)(x −x2), et (en supposant par exemple x1 < x2) x −∞ x1 x2 +∞ a signe de a | signe de a | signe de a x −x1 − 0 | + | + x −x2 − | − 0 | + P(x) signe de a 0 | signe de −a 0 | signe de a Th´ eor` eme Soit P(x) = ax2 + bx + c un trinˆ ome du second degr´ e avec a ̸= 0, alors : • si ∆< 0, P(x) est toujours du signe de a ; • si ∆= 0, P(x) s’annule pour x = x0 = −b 2a, et pour x ̸= x0, P(x) est du signe de a ; • si ∆> 0, P(x) admet deux racines x1 et x2, et P(x) est du signe de a ”` a l’ext´ erieur des racines” et du signe de −a ` a l’int´ erieur des racines. Y. Morel xymaths.free.fr/Lycee/1S/ Second degr´ e - 3/6 Trinˆ ome du second degr´ e : synth` ese Pour un trinˆ ome du second degr´ e : f(x) = ax2 + bx + c, o` u a, b et c sont trois r´ eels, et a ̸= 0. Le discriminant du trinˆ ome est ∆= b2 −4ac . ∆> 0 ∆= 0 ∆< 0 Solution(s) de l’´ equation f(x) = 0 (racines de f) 2 solutions r´ eelles dis- tinctes : x1 = −b − √ uploads/s3/ cours-2nddegre 1 .pdf

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