Concours National Commun – Session 2003 – MP Quelques aspects de la conduction

Concours National Commun – Session 2003 – MP Quelques aspects de la conduction thermique L’´ epreuve, qui aborde quelques aspects des transferts thermiques, est constitu´ ee de trois parties largement ind´ ependantes entre elles. Il est toutefois conseill´ e de les traiter dans l’ordre propos´ e. La premi` ere partie du probl` eme rappelle quelques notions fondamentales de la conduction thermique. La deuxi` eme partie propose d’´ etudier l’un des dispositifs utilis´ es par Joseph FOURIER pour l’´ etude de ce ph´ enom` ene. La troisi` eme partie, quant ` a elle, propose l’´ etude du principe d’une mesure optique d’un coefficient de transfert thermique conducto-convectif. Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ e ` a prendre. On ´ etudie dans ce probl` eme la conduction de la chaleur, ou diffusion thermique, dans un milieu isotrope, homog` ene, suppos´ e incompressible, de masse volumique , de capacit´ e thermique massique  et de conductivit´ e thermique  . On d´ esigne par  le coefficient de transfert conducto- convectif entre le solide et l’air, lorsque le solide est en contact direct avec l’air ambiant. Ces quatre grandeurs ,  ,  et  sont suppos´ ees ind´ ependantes de la temp´ erature  . Donn´ ees utiles  Masse volumique du fer :       ;  Capacit´ e thermique massique du fer :  "! #%$& '( *) & *) ;  Conductivit´ e thermique du fer :  + ,.-* /0 12 ;  Coefficient de transfert conducto-convectif du fer au contact de l’air :  3543 '6 *)7 8 ;  Conductivit´ e thermique de l’air : :9 <; => 8-* /0 12 ; 6?A@CB D ;FEG+; ?A@CB D E5HJI ?AD E ;  HJI ?AD ;FEG+; ?A@CB D 8 EK< ;  HJI ?ADMLON KQPRS<HJI ?ADTN HJI ?AD PSK ?A@CB D.N?A@CB D P . ´ Epreuve de Physique II 1 / 9 Tournez la page S.V.P. www.marocprepas.com M.AFEKIR marocprepas@yahoo.fr Concours National Commun – Session 2003 – MP 1` ere partie Transfert thermique conductif dans un barreau          ´ Enoncer la loi de FOURIER pour la conduction de la chaleur et en pr´ eciser les conditions de validit´ e. D´ efinir les diff´ erentes grandeurs utilis´ ees et en pr´ eciser l’unit´ e dans le syst` eme interna- tional des unit´ es (S.I.).    Quels sont les analogues ´ electriques des notions suivantes : conductivit´ e thermique, flux thermique, loi de FOURIER et gradient de temp´ erature    ? On pourra r´ epondre sous la forme d’un tableau.   !#"  $&%' () *$,+- $* .  On consid` ere un barreau (figure 1) solide, homog` ene et isotrope, ind´ eformable de longueur / , de section droite carr´ ee de surface 0 et dont le cˆ ot´ e est tr` es inf´ erieur ` a la longueur / . Ce barreau est entour´ e par une enveloppe adiabatique non repr´ esent´ ee sur la figure. On consid` ere qu’il n’y a aucune fuite thermique par la surface lat´ erale et que la temp´ erature est uniforme sur une section droite du barreau et ne d´ epend que de son abscisse E et du temps 1 . Les extr´ emit´ es EG< et E6 / de ce barreau sont en contact avec deux sources isothermes de chaleur de temp´ eratures respectivement ´ egales ` a  ) en E6< et  8 en E6 / ; avec  )32  8 . PSfrag replacements E / O Section 0 Figure 1: Barreau solide homog` ene, isotrope et ind´ eformable de section 0 et de longueur / .    En effectuant un bilan ´ energ´ etique pour la partie de barreau situ´ ee entre les sections d’abscisses E et ETK54&E , montrer que la temp´ erature  L EM 1 R dans le barreau est solution de l’´ equation diff´ erentielle aux d´ eriv´ ees partielles, appel´ ee ´ equation de la chaleur : 6 8  6 E 8    6  6 1 < (1)   87.9;:=<?>@BADCEA?@GFIH 9?CJ >KFLJ MN?9PO'9#Q AROIJ S N?>TJ UIVRFTW?9?CX:YJ MN?9 En r´ egime non stationnaire, pour une diffusion thermique s’effectuant sur une distance Z , il faut une dur´ ee de l’ordre de [D\ pour que toute variation ]  de temp´ erature se manifeste. [?\ est appel´ e temps caract´ eristique de la diffusion thermique.     En utilisant l’´ equation de la chaleur (1), construire la grandeur [;\ ` a partir des grandeurs ,  ,  et Z .     Calculer le temps caract´ eristique de la diffusion thermique dans le cas du fer pour les extensions spatiales Z ) 3 H et Z 8 <=# H . Commenter.   ^`_aH 9D>TJ >KFKA'V;@G9YFTW?9?CX:YJ MN?9 On se place en r´ egime stationnaire.   ^  D´ eterminer l’expression de la temp´ erature  L E*R dans une section droite du barreau. ´ Epreuve de Physique II 2 / 9   Concours National Commun – Session 2003 – MP   ^  ´ Etablir la relation entre le flux thermique traversant une section droite du barreau en r´ egime stationnaire et les temp´ eratures  ) et  8 .   ^ ^ En d´ eduire l’expression de la r´ esistance thermique  du barreau que l’on d´ efinira. Commenter. 2` eme partie Transfert thermique conductif dans un anneau (FOURIER,  ) Un des dispositifs utilis´ es par J. FOURIER ´ etait constitu´ e d’un anneau solide ind´ eformable en fer homog` ene et isotrope repr´ esent´ e figure 2, ayant la forme d’un tore d’axe  , de rayon moyen  et de section carr´ ee de cˆ ot´ e  , avec  tr` es inf´ erieur ` a  . Plusieurs petites loges de dimensions n´ egligeables, remplies de mercure et dans lesquelles plongent des thermom` etres, sont perc´ ees en divers endroits de l’anneau. PSfrag replacements  O   <  Figure 2: Anneau solide homog` ene, isotrope et ind´ eformable de rayon moyen  et de section carr´ ee de cˆ ot´ e  . Dans une section droite de l’anneau prise pour origine des angles (  < ), on place un dispositif de chauffage constitu´ e d’une plaque d’´ epaisseur n´ egligeable et de mˆ eme section (    ) que l’anneau. On consid` ere que la temp´ erature est uniforme sur toute section droite du barreau et ne d´ epend que de l’angle  et du temps 1 . Dans toute la suite du probl` eme, et sauf mention explicite du contraire, on limitera l’angle  ` a l’intervalle  , ; . Pour les applications num´ eriques, on prendra  37 A H et   #%H .  !#"  $&%' () *$,+- $* .  $ .+ K E%; ! %'- #"  "  ! L’anneau est plac´ e dans l’air ambiant de temp´ erature $ , uniforme et ind´ ependante du temps. Selon la loi de NEWTON, le flux thermique conducto-convectif sortant par l’´ el´ ement de surface lat´ erale 4 0&% '( de l’anneau et donc c´ ed´ e ` a l’air ambiant, vaut )+*   L   $ R 4 0% '( , o` u  est le coefficient de transfert conducto-convectif entre le m´ etal et l’air, que l’on suppose constant, et  la temp´ erature de la portion d’anneau consid´ er´ ee ` a l’instant 1 .    Quel est l’int´ erˆ et pratique de remplir les loges par du mercure ?    En effectuant un bilan ´ energ´ etique pour la partie d’anneau situ´ ee entre les sections rep´ er´ ees par les angles  et  K 4  , montrer que la temp´ erature  L  1 R en tout point de l’anneau ´ Epreuve de Physique II 3 / 9 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2003 – MP est solution de l’´ equation aux d´ eriv´ ees partielles suivante :   6  6 1    8 6 8  6  8 K !    L  $   R (2) On se place d´ esormais en r´ egime stationnaire.   ^ ´ Ecrire l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par la temp´ erature  L  R dans l’anneau et en donner la solution g´ en´ erale. On introduira la grandeur N     !  dont on pr´ ecisera la dimension.     On suppose que le dispositif de chauffage impose une uploads/s3/ cnc-2003-mp-physique-2.pdf

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