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Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP Épreuve de Physique II 1/9

Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP Épreuve de Physique II 1/9 • On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. • Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. • Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées. • Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles. L'énergie électrique : centrale REP La prise électrique que nous connaissons tous, est l’aboutissement de tout un réseau de production et de transport de l’énergie électrique. Les centrales nucléaires ont pour rôle de transformer l’énergie libérée par une réaction nucléaire en énergie électrique. Dans ce problème, nous aborderons plusieurs aspects des problèmes liés à la production de l'énergie électrique dans une centrale électronucléaire de type REP (réacteur à eau pressurisée), à son transport et à sa gestion. Les différentes parties de ce problème sont largement indépendantes. 1. Préliminaire : cycle thermodynamique de Carnot Une masse donnée d’un fluide décrit un cycle moteur de Carnot. Il s’agit d’un cycle ditherme réversible composé de la succession des phases suivantes : • une compression isotherme A 1 →A2 à la température de la source froide TF ; • une compression adiabatique A2 →A3 ; • une détente isotherme A3 →A4 à la température de la source chaude TC ; • une détente adiabatique A4 →A 1. On note W le travail reçu par le fluide, QC la chaleur reçue par le fluide de la part de la source chaude et QF la chaleur reçue par le fluide de la part de la source froide. Ces grandeurs sont comptées algébriquement. 1.1. Donner le signe des trois grandeurs énergétiques W , QC et QF . 1.2. Dessiner le schéma fonctionnel du système étudié. Préciser les sens réels et ceux conventionnels des échanges énergétiques. 1.3. Représenter le cycle parcouru par la machine de Carnot dans le diagramme de Clapeyron puis dans le diagramme (T,S) en précisant le sens. 1.4. Écrire le premier principe et le second principe de la thermodynamique pour le fluide au cours d’un cycle. Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP Épreuve de Physique II 2/9 1.5. Établir l’expression du rendement thermodynamique ηC du cycle de Carnot en fonction uniquement de TF et TC . 1.6. On suppose que le cycle n’est pas réversible et on désigne par Sp l’entropie produite lors du cycle. Montrer que le rendement thermodynamique du cycle de Carnot irréversible est donné par : η =1−TF TC −TFSp QC . 1.7. Comparer ηC et η . Le cycle de Carnot est de tous les cycles thermodynamiques fonctionnant entre deux sources données ; celui qui a le rendement le plus élevé. Justifier pourquoi. 2. Uranium : combustible du REP L’uranium naturel, mélange d’isotopes constitué à 99,3 % d’uranium 238U , est le combustible des centrales nucléaires. Il est présent naturellement dans l'écorce terrestre. Les principales mines se trouvent en Australie, au Canada et en Russie. Le yellow - cake, obtenu après purification et transformation du minerai, contient deux isotopes de l'uranium : 238U et 235U . L’uranium 235U est le seul qui soit susceptible de subir la fission. 2.1. Énergie libérée par la fission de l’uranium 235U De nombreuses fissions de l'uranium 235U sont susceptibles de se produire dans le cœur de la centrale nucléaire ; une des réactions possibles conduit à du strontium 95Sr et du xénon 139Xe comme l'indique l'équation ci - dessous : 92 235U + 0 1n →38 95Sr + 54 139Xe+ 2 0 1n 2.1.1. Calculer la variation de masse Δm qui accompagne la fission d’un noyau d’uranium 235U . En déduire, en MeV , l'énergie libérée par la fission d'un noyau d'uranium 235U . 2.1.2. Calculer, en joule, l'énergie Q libérée par la fission d'une masse m =1,0g d'uranium 235U . Commenter. On donne : Particule 0 1n 38 95Sr 54 139Xe 92 235U Masse (u ) 1,009 94,945 138,955 235,120 − 1u = 931,5MeV / c2 =1,661.10−27kg , c étant la vitesse de la lumière dans le vide. − 1eV =1,6.10−19 J . Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP Épreuve de Physique II 3/9 2.2. Enrichissement de l’uranium L’uranium 235U , le seul qui soit susceptible de subir la fission, ne correspond qu’à 0,72% de l’uranium contenu dans le yellow-cake. Pour alimenter des réacteurs nucléaires, il faut disposer d’un combustible dont la proportion d’uranium 235U fissile se situe entre 3% et 5% . Deux principaux procédés d'enrichissement ont été développés à l’échelle industrielle : la diffusion gazeuse et l’ultracentrifugation. L’ultracentrifugation a pour but d’utiliser la force centrifuge pour séparer, compte tenu de leur masse différente, les isotopes 238U et 235U de l'uranium. On transforme alors l’uranium naturel en hexafluorure d’uranium (UF 6 ) sous forme gazeuse que l’on introduit à l’intérieur d’un bol : la centrifugeuse. 2.2.1. Principe de l’ultra-centrifugation Le bol utilisé pour l’ultra-centrifugation a la forme d’un cylindre de rayon a et hauteur h . Il est animé, par rapport au référentiel (R) lié au laboratoire et considéré comme galiléen, d’un mouvement de rotation uniforme autour de son axe (Oz) à la vitesse angulaire ω (figure 1). Il contient N molécules de masse molaire M0 d’un gaz supposé parfait de masse volumique µ . On admet que le gaz atteint un état d’équilibre dans le référentiel (R') non galiléen lié au cylindre à la température T supposée constante. On ne tient pas compte de la pesanteur. D’autre part, en régime permanent, et du fait des chocs moléculaires, on admettra qu’une molécule de masse m située au point M de coordonnées cylindriques (r,θ, z) à une distance r de l’axe de rotation, figure 1 possède une accélération normale d’entraînement égale à a ! e = −rω 2e ! r . On note (e ! r,e ! θ,e ! z) la base des coordonnées cylindriques. On rappelle l’expression de l’accélération a ! (M / R) d’un point matériel M dans un référentiel (R) en fonction de son accélération a ! (M / R') dans un référentiel mobile (R') d’origine O' : a ! (M / R) = a ! (M / R')+ a ! (O'/ R)+ dω ! " dt ∧O'M ! " !!!! +ω ! " ∧ω ! " ∧O'M ! " !!!! ( )+ 2ω ! " ∧v ! (M / R'). ω ! " est la vitesse de rotation de (R') par rapport à (R) et v ! (M / R') la vitesse de M dans (R'). 2.2.1.1. Justifier l’expression de l’accélération a ! e = −rω 2e ! r . Exprimer la force centrifuge F ! " e à laquelle est soumise une molécule située à la distance r de l’axe de rotation. En déduire la force par unité de volume f ! " e,v appliquée au fluide. 2.2.1.2. Montrer que l’énergie potentielle dans le référentiel (R') d’une molécule (i) est Epi(r) = −1 2 mω 2r2 . On suppose que l’énergie potentielle est nulle sur l’axe de rotation. 2.2.1.3. Déterminer l’expression de la pression P(r) du gaz en fonction de r et de la pression P(0) sur l’axe du cylindre. On rappelle que lorsqu’un fluide est soumis r ω z a Concours National Commun – Session 2017 – Filière MP Épreuve de Physique II 4/9 à des forces de densité volumique f ! " v , la condition d’équilibre s’écrit : f ! " v(M)−grad ! " !!!! (P(M)) = 0 " où P(M) est la pression au point M du fluide. 2.2.1.4. En déduire que le nombre de molécule N *(r) par unité de volume dans le cylindre à la distance r de l’axe (Oz) est donné par : N *(r) = N *(0)exp(M0ω 2r2 2RT ) où R est la constante des gaz parfaits. Donner l’expression de N *(0). 2.2.1.5. Vérifier que N *(r) se met sous la forme N *(r) = N *(0)exp(−Ep(r) kBT ) , kB étant la constante de Boltzmann. Donner l’expression de Ep(r) en fonction des données. Comment appelle-t-on le terme exp(−Ep(r) kBT ) ? Quelle est sa signification physique ? 2.2.2. Séparation isotopique Le dispositif précédent est à la base de la méthode d’enrichissement de l’uranium par ultracentrifugation. L’hexafluorure d’uranium UF 6 , mélange gazeux des deux isotopes 235UF 6 et 238UF 6 de masses molaires respectives M235 et M238 , est introduit dans des cylindres de rayon a qui tournent à la vitesse angulaire ω constante. La température est T . On donne : a =10cm , M235 = 349g.mol−1 , M238 = 352g.mol−1 , R = 8,314J.K −1.mol−1 et ω = 25000tr.min−1 . 2.2.2.1. Calculer numériquement N *(a) N *(0) dans le cas d’une molécule 238UF 6 , puis dans le cas d’une molécule 235UF uploads/s3/ cnc-mp-2017-physique-2-epreuve-pdf.pdf